Question

12．如圖（甲），MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，電阻箱的阻值范圍為0～4Ω，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．質(zhì)量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現(xiàn)從靜止釋放桿a b，測(cè)得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖（乙）所示．已知軌距為L(zhǎng)=2m，重力加速度g=10m/s²，軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)．

（1）當(dāng)R=0時(shí)，求桿a b勻速下滑過(guò)程中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)E的大小及桿中的電流方向；
（2）求金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）求金屬桿勻速下滑時(shí)電阻箱消耗電功率的最大值P_m．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出R=0時(shí)桿ab的最大速度，由E=BLv求解感生電動(dòng)勢(shì)E的大小，由右手定則判斷出桿中的電流方向；
（2）根據(jù) E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$、F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，當(dāng)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由平衡條件得到最大速度v_m與R的關(guān)系式，根據(jù)圖象的斜率和縱截距求解金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）金屬桿勻速下滑時(shí)，由平衡條件求得電路中電流，即可求出電阻箱消耗電功率的最大值P_m；

解答 解：（1）由圖可知，當(dāng)R=0時(shí)，桿最終以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)
E=BLv=0.5×2×2V=2V
由右手定則判斷可知桿中電流方向從b→a
（2）設(shè)桿運(yùn)動(dòng)的最大速度為v，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
由閉合電路的歐姆定律得：$I=\frac{E}{R+r}$
桿達(dá)到最大速度時(shí)滿足 mgsinθ-BIL=0
聯(lián)立解得：v=$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}R+\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$
由圖象可知：斜率為$k=\frac{4-2}{2}{m/（s}•{Ω）}={1m/（s}•{Ω）}$，縱截距為v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$=v₀ $\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω
（3）金屬桿勻速下滑時(shí)電流恒定，則有 mgsinθ-BIL=0
得 $I=\frac{mgsinθ}{BL}=1A$
電阻箱消耗電功率的最大值${P_m}={I^2}{R_m}=4W$
答：（1）當(dāng)R=0時(shí)，求桿a b勻速下滑過(guò)程中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)E的大小2V，桿中電流方向從b→a．
（2）金屬桿的質(zhì)量m為0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）金屬桿勻速下滑時(shí)電阻箱消耗電功率的最大值P_m是4W．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，其中安培力的分析和計(jì)算是關(guān)鍵．