Question

15．如圖所示，離水平地面高h(yuǎn)=5m、長(zhǎng)L=3.4m的水平傳送帶以v=2m/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．質(zhì)量分別為1kg、1.5kg的小物塊A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）由跨過(guò)定滑輪且不可伸長(zhǎng)的輕繩相連．現(xiàn)將B輕輕放在傳送帶的左端（B與定滑輪間的繩水平伸直，A與滑輪間的繩豎直伸直），當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到傳送帶的右端時(shí)因繩突然斷掉而做平拋運(yùn)動(dòng)．B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，與滾輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，輪軸處的摩擦不計(jì)，滑輪質(zhì)量和摩擦也不計(jì)，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A上升的最大高度H；
（2）B從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到落地前經(jīng)歷的時(shí)間t及剛落地時(shí)的速率v_B；
（3）B在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出A先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度，結(jié)合速度位移公式求出勻加速直線(xiàn) 運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，結(jié)合速度位移公式求出繩子斷裂后，A繼續(xù)上升的高度，從而得出A上升的最大高度．
（2）B先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，最后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出各段過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出總時(shí)間．根據(jù)平行四邊形定則求出B剛落地的速度．
（3）根據(jù)在滑動(dòng)摩擦力和靜摩擦力作用下的位移，求出摩擦力做功的大小，結(jié)合平均功率的大小求出該過(guò)程中電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率．

解答 解：（1）B受到的滑動(dòng)摩擦力f₁=μm_Bg=0.8×15N=12N＞m_Ag=10N，開(kāi)始時(shí)B水平向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，A豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有
對(duì)A，T-m_Ag=m_Aa₁
對(duì)B，f₁-T=m_Ba₁
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得a₁=0.8m/s²
對(duì)B，由v²=2a₁s₁
代入數(shù)據(jù)解得s₁=2.5m
此時(shí)A勻加速上升s₁=2.5m，由于s₁＜L且f₁＞m_Ag，B在運(yùn)動(dòng)s₁=2.5m后將隨傳送帶水平向右勻速運(yùn)動(dòng)，A勻速上升s₂=L-s₁=3.4-2.5m=0.9m，
繩突然斷掉后，對(duì)A，由v²=2gs₃
解得A向上勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移${s}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{4}{20}m=0.2m$，
得H=s₁+s₂+s₃=2.5+0.9+0.2m=3.6m．
（2）B做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程有v=a₁t₁，
勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{0.8}s=2.5s$，
做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程有s₂=vt₂，
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{{s}_{2}}{v}=\frac{0.9}{2}s$=0.45s
做平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程有h=$\frac{1}{2}$g${t}_{3}^{2}$，
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s$=1s，
B從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到落地經(jīng)歷的時(shí)間t=t₁+t₂+t₃=2.5+0.45+1s=3.95s．
剛落地時(shí)的速率v_B=$\sqrt{{v}^{2}+（g{t}_{3}）^{2}}$=$\sqrt{4+100}$=2$\sqrt{26}$ m/s
（3）B在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，傳送帶克服滑動(dòng)摩擦力做的功為W₁=f₁vt₁
B在傳送帶上做勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，傳送帶受到的靜摩擦力為f₂=m_Ag
傳送帶克服靜摩擦力做的功為W₂=f₂s₂
電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}=\frac{{W}_{1}+{W}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得$\overline{P}$≈23.39W．
答：（1）A上升的最大高度H為3.6m；
（2）B從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到落地前經(jīng)歷的時(shí)間t為3.95s，剛落地時(shí)的速率為2$\sqrt{26}$ m/s；
（3）B在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$為23.39W．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清A、B在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，知道B在傳送帶上先受到滑動(dòng)摩擦力，然后受靜摩擦力．