Question

如圖甲所示，相隔一定距離的豎直邊界兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，在邊界上固定兩長(zhǎng)為L(zhǎng)的平行金屬極板MN和PQ，兩極板中心各有一小孔S₁、S₂，兩極板間電壓的變化規(guī)律如圖乙所示，正反向電壓的大小均為U₀，周期為T(mén)₀．在t=0時(shí)刻將一個(gè)質(zhì)量為m電量為-q（q＞0）的粒子由S₁靜止釋放，粒子在電場(chǎng)力的作用下向右運(yùn)動(dòng)，在t=

T0

2

時(shí)刻通過(guò)S₂垂直于邊界進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)．（不計(jì)粒子重力，不考慮極板外的電場(chǎng)）
（1）求粒子到達(dá)S₂時(shí)的速度大小v和極板間距d；
（2）為使粒子不與極板相撞，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足的條件．
（3）若已保證了粒子未與極板相撞，為使粒子在t=3T₀時(shí)刻再次到達(dá)S₂，且速度恰好為零，求該過(guò)程中粒子在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的增加；
（2）使粒子不與極板相撞，則運(yùn)動(dòng)的半徑大于

L

4

；
（3）粒子在t=3T₀時(shí)刻再次到達(dá)S₂，且速度恰好為零，則從s₁再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的時(shí)刻是

5T0

2

，粒子從左向右應(yīng)是水平勻速穿過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)，距離為d，根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得時(shí)間，粒子在左右磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等的，粒子在左右磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等的且都是半個(gè)周期，所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是一個(gè)周期，即t′=T；然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力，即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的增加，得：
qU0=

1

2

mv2
代入數(shù)據(jù)，得：v=

2qU m

又：d=

1

2

v(

T0

2

)，
聯(lián)立以上兩式，得：d=

T0

4

2qU0 m

（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：qvB=

mv2

r

，
得：r=

mv

qB

使粒子不與極板相撞，則運(yùn)動(dòng)的半徑r≥

L

4

聯(lián)立以上兩式，得：B≤

4

L

2mU0 q

（3）粒子在t=3T₀時(shí)刻再次到達(dá)S₂，且速度恰好為零，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，則從s₁再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的時(shí)刻是

5T0

2

；
粒子從左向右應(yīng)是水平勻速穿過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)，距離為d，時(shí)間為：t1=

d

v

=

T0

4

粒子在左右磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等的，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t′=

5T0

2

-

T0

2

-

T0

4

=

7

4

T0
粒子在左右磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等的且都是半個(gè)周期，所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是一個(gè)周期，即t′=T；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=

m4π2r

T2

，vT=2πr
聯(lián)立以上公式得：B=

8πm

7qT0

．
答：（1）粒子到達(dá)S₂時(shí)的速度

2qU m

和極板間距d=

T0

4

2qU0 m

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足的條件B≤

4

L

2mU0 q

；
（3）粒子在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

7

4

T0，磁感應(yīng)強(qiáng)度的B=

8πm

7qT0

．

點(diǎn)評(píng)：該題中粒子在左右磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等的，在電場(chǎng)中加速和減速的時(shí)間也是相等的，是這解題的關(guān)鍵．該題解題的過(guò)程復(fù)雜，公式較多，容易在解題的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤．屬于難度大的題目．