Question

20．如圖甲所示，光滑的水平地面上固定一長L=1.7m的木板C，C板的左端有兩個可視為質點的物塊A和B，其間夾有一根原長為1.0m、勁度系數(shù)k=200N/m的輕彈簧，此時彈簧沒有發(fā)生形變，且與物塊不相連．已知m_A=m_C=20kg，m_B=40kg，A與木板C、B與木板C的動摩擦因數(shù)分別為μ_A=0.50，μ_B=0.25．假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等．現(xiàn)用水平力F作用于A，讓F從零逐漸增大，使A緩慢移動而逐漸壓縮彈簧，壓縮了一定量后又推動B緩慢地向右移動，當B緩慢向右移動0.5m時，使彈簧儲存了彈性勢能E₀．（g=10m/s²）問：

（1）以作用力F為縱坐標，物塊A移動的距離為橫坐標，試通過定量計算在圖乙的坐標系中畫出推力F隨物塊A位移的變化圖線．
（2）求出彈簧貯存的彈性勢能E₀的大�。�
（3）當物塊B緩慢地向右移動了0.5m后，保持A、B兩物塊間距，將其間夾有的彈簧更換，使得壓縮量仍相同的新彈簧貯存的彈性勢能為12E₀，之后同時釋放三物體A、B和C，已被壓縮的輕彈簧將A、B向兩邊彈開，設彈開時A、B兩物體的速度之比始終為2：1，求哪一物塊先被彈出木板C？最終C的速度是多大？

Answer 1

分析 （1）先求出A與C間的摩擦力為f_A=μ_Am_Ag=100N，B與C間摩擦力為f_B=μ_Bm_Bg=100N．力F從零逐漸增大，當增大到100N時，物塊A開始向右移動壓縮輕彈簧，此時B仍保持靜止，彈簧的壓縮量設為x，力F=f_A+kx，當x=0.5m時，力F=f_A+f_B=200N，此時B將緩慢地向右移．B在移動0.5m的過程中，力F保持F=200N不變，彈簧壓縮了0.5m，B離木板C的右端0.2m，A離木板C有左端1.0m．根據(jù)這些條件可作出力F隨A位移的變化圖線；
（2）根據(jù)F-S圖象的“面積”可求出力F在B緩慢地向右移動0.5m的過程中所做的功．根據(jù)能量守恒定律得知，推力做功等于彈簧儲存的彈性勢能E₀的大小與A克服摩擦力做功之和；
（3）分析三個物體的運動狀態(tài)：撤去力F之后，AB兩物塊給木板C的摩擦力的合力為零，木板靜止不動，由動量守恒可求出AB速度之比，則可得到位移關系，判斷哪個物塊先彈出木板C．對三個物體，由能量守恒定律和動量守恒結合求解最終C的速度．

解答 解：（1）A與C間的摩擦力為：f_A=μ_Am_Ag=0.5×20×10N=100N，B與C間摩擦為：f_B=μ_Bm_Bg=0.25×40×10N=100N，
推力F從零逐漸增大，當增大到100N時，物塊A開始向右移動壓縮輕彈簧（此時B仍保持靜止），設壓縮量為x，則力F=f_A+kx，
當x=0.5m時，力F=f_A+f_B=200N，此時B將緩慢地向右移．B在移動0.5m的過程中，力F保持F=200N不變，彈簧壓縮了0.5m，B離木板C的右端0.2m，A離木板C有左端1.0m．作出力F隨A位移的變化圖線如圖所示；
（2）在物塊B移動前，力F作用于物塊A，壓縮彈簧使彈簧貯存了彈性勢能E₀，物塊A移動了s=0.5m，設力F做功為W，由能量守恒可得彈簧貯存的彈性勢能大小為：E₀=W-f_As=$\frac{100+200}{2}$×0.5J-100×0.5J=25J；
（3）撤去力F之后，AB兩物塊給木板C的摩擦力的合力為零，故在物塊AB滑離木板C之前，C仍靜止不動．物塊AB整體所受外力的合力也為零，其動量守恒，可得：
以初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：m_Av_A=m_Bv_B
由題可知，始終v_A：v_B=m_B：m_A=2：1 當物塊B在木板C上向右滑動了0.2m，物塊A則向左滑動了0.4m，但A離木板C的左端還有d=0.6m．可見，物塊B先滑離木板C．
并且兩物體的相對位移△s=0.4m+0.2m=0.6m＞0.5m（彈簧的壓縮量），彈簧儲存的彈性勢能已全部釋放，
由能量守恒定律有：12E₀=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²+f_A•△s
由此求出物塊B滑離木板C時A物塊的速度為：v_A=4m/s
設此后A滑離木板C時，物體A的速度v_A′，木板C的速度v_c′，有動量守恒定律有：
 m_Av_A=m_Av_A′+m_Cv_C′
 由能量守恒有：f_Ad=-$\frac{1}{2}$m_Av_A²-（$\frac{1}{2}$m_A${v}_{A}^{′2}$+$\frac{1}{2}$m_C${v}_{C}^{′2}$）
將d=0.6m及有關數(shù)據(jù)代入上兩式解得：v_C′=1m/s，（v_C′=3m/s，不合題意舍棄）
答：（1）推力F隨A位移的變化圖線如圖所示；
（2）彈簧儲存的彈性勢能E₀的大小為25J；
（3）物塊B先滑離木板C，最終C的速度是1m/s．

點評 本題難度較大，既要分析三個物體的受力情況，確定出它們的運動狀態(tài)，還要根據(jù)動量守恒和能量守恒定律結合求解C的最終速度．