Question

11．如圖所示，勁度系數(shù)k=25N/m輕質(zhì)彈簧的一端與豎直板P栓接（豎直板P固定在木板B的左端），另一端與質(zhì)量m_A=1kg的小物體A相連，P和B的總質(zhì)量為M_B=4kg且B足夠長．A靜止在木板B上，A右端連與細(xì)線繞過光滑的定滑輪與質(zhì)量m=1kg的物體C相連，木板B的上表面光滑，下表面與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4．開始時(shí)用手托住C，讓細(xì)線恰好伸直但沒拉力，然后由靜止釋放C，直到B開始運(yùn)動(dòng)．已知彈簧伸長量為x時(shí)其彈性勢能為$\frac{1}{2}$kx²，全過程物體C沒有觸地，彈簧在彈性限度內(nèi)，g取10m/s²．求：
（1）釋放C的瞬間A的加速度大�。�
（2）釋放C后A的最大速度大��；
（3）若C的質(zhì)量變?yōu)閙_C′=3kg，則B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力對物體A做功的功率．

Answer 1

分析 本題（1）分別對物體C與A列出牛頓第二定律表達(dá)式即可求解；題（2）的關(guān)鍵是明確當(dāng)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)滿足彈簧彈力等于地面對B的摩擦力，然后再根據(jù)力的平衡求出速度最大時(shí)彈簧的伸長量，最后用能量守恒定律即可求解；題（3）分別對A與C列出動(dòng)能定理表達(dá)式求出A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，然后再根據(jù)瞬時(shí)功率公式即可求解．

解答 解：（1）釋放瞬間，對物體C應(yīng)有：mg-T=ma
對物體A應(yīng)有：$T={m}_{A}^{\;}a$
聯(lián)立以上兩式可得：$a=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）當(dāng)A的加速度為0時(shí)速度最大，A、C連接體加速度相同
對C：T′=mg=10N
對A：kx=T′=10N
解得：$x=\frac{10}{25}m=0.4m$
當(dāng)B剛開始滑動(dòng)時(shí)有，$k{x}_{0}^{\;}=μ（{m}_{A}^{\;}+{M}_{B}^{\;}）g$
解得${x}_{0}^{\;}=0.8m$
因?yàn)?x＜{x}_{0}^{\;}$，所以A達(dá)到最大速度時(shí)，B還沒有開始運(yùn)動(dòng)
根據(jù)能量守恒$mgx=\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+m）{v}_{max}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{\;}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{max}^{\;}=\sqrt{2}m/s$
（3）B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)物體A的速度為v，對物體A由動(dòng)能定理可得：${W}_{T}^{\;}-{W}_{彈}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{A}^{\;}{v}_{\;}^{2}-0①$
對物體C由動(dòng)能定理可得${m}_{C}^{′}g{x}_{0}^{\;}-{W}_{T}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{C}^{′}{v}_{\;}^{2}-0$②
${W}_{彈}^{\;}=\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$③
聯(lián)立以上各式得$v=2\sqrt{2}m/s$
當(dāng)B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，對A、C由牛頓第二定律得
對A：$T′-{m}_{A}^{\;}g={m}_{A}^{\;}a$
對C：${m}_{C}^{′}g-T′={m}_{C}^{′}a$
聯(lián)立解得T′=22.5N
當(dāng)B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力對A做功的功率P=T′V=22.5×$2\sqrt{2}$=45$\sqrt{2}$W
答：（1）釋放C的瞬間A的加速度大小5$m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）釋放C后A的最大速度大小$\sqrt{2}m/s$；
（3）若C的質(zhì)量變?yōu)閙_C′=3kg，則B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力對物體A做功的功率$45\sqrt{2}$W．

點(diǎn)評 應(yīng)明確：①涉及到加速度問題時(shí)應(yīng)用牛頓第二定律求解；②涉及到“功”的有關(guān)問題，應(yīng)用動(dòng)能定理求解．