Question

9．法拉第在研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象的過程中發(fā)現(xiàn)：“電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比”．這就是著名的法拉第電磁感應(yīng)定律，請(qǐng)根據(jù)定律完成下列問題．
（1）如圖1所示，固定于水平面上的金屬框架abcd，處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)．框架的ab與dc平行，bc與ab、dc垂直．MN與bc的長(zhǎng)度均為l，在運(yùn)動(dòng)過程中MN始終與bc平行，且與框架保持良好接觸．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．請(qǐng)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，證明金屬棒MN中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv；
（2）為進(jìn)一步研究導(dǎo)體做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的過程，現(xiàn)構(gòu)建如下情景：
金屬棒a和b，兩棒質(zhì)量都為m，電阻分別為R_a和R_b如圖2所示，a棒從h高處自靜止沿弧形軌道下滑，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，通過C點(diǎn)進(jìn)入軌道的水平部分，該水平部分存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．（下滑時(shí)棒始終保持與導(dǎo)軌垂直）
a．若金屬棒b固定于軌道的水平部分，且a棒始終沒有跟b棒相碰，求a棒上最終產(chǎn)生的焦耳熱（不計(jì)一切摩擦）．
b．若金屬棒b解除固定，靜止于軌道水平部分，要使ab不相碰，b棒至少距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）在△t時(shí)間內(nèi)，ab棒向右移動(dòng)的距離為，求出線框的磁通量的變化量，然后代入法拉第電磁感應(yīng)定律即可得出E=BLv的結(jié)論；
（2）①根據(jù)能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱總量為mgh．a(chǎn)b棒串聯(lián)，功率與電阻成正比
    ②由動(dòng)能定理知C點(diǎn)速度，由動(dòng)量守恒知ab的共同速度，由動(dòng)量定理列式求解b棒至少距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)．

解答 解：（1）在△t時(shí)間內(nèi)，ab棒向右移動(dòng)的距離為△x=v△t，這個(gè)過程中線框的面積變化量是：
△S=Lv△t                 
穿過閉合回路的磁通量的變化量是：△Φ=B△S=B Lv△t
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：E=n$\frac{△∅}{△t}$=1×$\frac{BLv△t}{△t}$=BLv

（2）
a、根據(jù)能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱總量為mgh．
ab棒串聯(lián)，功率與電阻成正比，所以a棒上產(chǎn)生的熱量為Q=$\frac{{R}_{a}mgh}{{R}_{a}+{R}_}$
b、a棒滑至C點(diǎn)時(shí)的速度為v_c=$\sqrt{2gh}$，a棒進(jìn)入水平后和b棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律．
由mv_v=2mv₂，得最終ab的速度均為v₂=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$
設(shè)ab棒的剛好達(dá)到相同速度的過程中的某時(shí)刻，ab的速度差為△v，則此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E_i=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BL△x}{△t}$=BL△v
此時(shí)回路中的感應(yīng)電流I_i=$\frac{BL△v}{{R}_{a}+{R}_}$
此時(shí)ab棒所受安培力F_i=BI_iL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{{R}_{a}+{R}_}$
對(duì)b棒根據(jù)動(dòng)量定理有：F_i△t=m△v₂
對(duì)a、b棒剛好達(dá)到相同速度的過程求和
則有：$\sum_{i}^{n}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{{R}_{a}+{R}_}$△t=mv₂，
即$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{{R}_{a}+{R}_}$=mv₂
又因v₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gh}$
所以解得最小距離為△x=$\frac{m（{R}_{a}+{R}_）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{2gh}$
答：（1）證明過程見解析；
（2）a．若金屬棒b固定于軌道的水平部分，且a棒始終沒有跟b棒相碰，a棒上最終產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{R}_{a}mgh}{{R}_{a}+{R}_}$；
b．若金屬棒b解除固定，靜止于軌道水平部分，要使ab不相碰，b棒至少距離C點(diǎn)$\frac{m（{R}_{a}+{R}_）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{2gh}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，難度比較大．