Question

12．要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)β₁=75.0°，到東經(jīng)β₂=135.0°之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？（結(jié)果用字母表示，地球半徑為R₀，地球表面處的重力加速度為g）

Answer 1

分析 所謂覆蓋，就是衛(wèi)星往地表作切線，兩根切線范圍內(nèi)就是覆蓋范圍，根據(jù)同步衛(wèi)星的軌道周期結(jié)合圖形求解

解答 解：如圖所示，圓為地球赤道，S為衛(wèi)星所在處，用R表示衛(wèi)星運動軌道的半徑．由萬有引力定律、牛頓運動定律和衛(wèi)星周期T（亦即地球自轉(zhuǎn)周期）可得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$…①式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量，m為衛(wèi)星質(zhì)量．
另有：GM=gR²…②
由圖可知Rcosθ=R₀…③
由以上各式，可解得：θ=arccos（$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}}{g{T}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$…④
取T=23小時56分4秒（或近似取T=24小時），代入數(shù)值，可得θ=81.3°…⑤
由此可知，衛(wèi)星的定位范圍在東經(jīng)135.0°-81.3°=53.7°到75.0°+81.3°=156.3°之間的上空．
答：衛(wèi)星的定位范圍在東經(jīng)53.7°到156.3°之間的上空

點評 解決該題關(guān)鍵要掌握人造衛(wèi)星運行時，萬有引力提供向心力，能根據(jù)題意作出對應(yīng)的幾何關(guān)系圖象進行求解