Question

1．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中華民族千年奔月的夢(mèng)想．假若我國(guó)的航天員登上某一星球并在該星球表面上做了如圖所示力學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊以v₀=1m/s的初速度從傾角為53°的斜面AB的頂點(diǎn)A滑下，到達(dá)B點(diǎn)后恰好能沿傾角為37°的斜面到達(dá)C點(diǎn)．不計(jì)滑過(guò)B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能損失，滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，測(cè)得A、C兩點(diǎn)離B點(diǎn)所在水平面的高度分別為h₁=1.2m，h₂=0.5m．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)該星球的自轉(zhuǎn)以及其他星球?qū)λ�的作用�?br />（1）求該星球表面的重力加速度g；
（2）若測(cè)得該星球的半徑為R=6×10⁶m，宇航員要在該星球上發(fā)射一顆探測(cè)器繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則探測(cè)器運(yùn)行的最大速度為多大？
（3）取地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，求該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$．

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A到C的過(guò)程中，對(duì)滑塊進(jìn)行受力分析和做功分析，根據(jù)動(dòng)能定理列方程求得重力加速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力、重力等于萬(wàn)有引力列式，求解探測(cè)器的最大速度．
（3）根據(jù)密度公式和黃金代換式GM=gR²，求解星球的平均密度與地球的平均密度之比．

解答 解：（1）小滑塊從A到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mg（h₁-h₂）-μmgcos53°•$\frac{{h}_{1}}{sin53°}$-μmgcos37°•$\frac{{h}_{2}}{sin37°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代人數(shù)據(jù)解得：g=6m/s²
（2）設(shè)探測(cè)器質(zhì)量為m′，探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)行速度最大，由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}^{2}}{R}$
又在星球表面有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$
代入數(shù)值解得：v=6000m/s=6km/s
（3）由星球密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$和GM=gR²得該星球的平均密度與地球的平均密度之比為：
$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=$\frac{g{R}_{0}}{{g}_{0}R}$
代入數(shù)值，解得：$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=0.64．
答：（1）該星球表面的重力加速度為6m/s²；
（2）探測(cè)器運(yùn)行的最大速度為6km/s．
（3）該星球的平均密度與地球的平均密度之比為0.64．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力應(yīng)用問(wèn)題，主要從萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和星球表面重力和萬(wàn)有引力相等兩方面入手分析．