Question

【題目】圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)如圖所示，其圓心為O，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，圓筒的上方有相距為L的平行金屬板P、Q，其中P板帶正電荷，Q板帶等量的負(fù)電荷。板間電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)。帶負(fù)電的粒子從P板邊緣的M點(diǎn)以2v垂直P板射入電場(chǎng)，恰好經(jīng)Q板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中。粒子與圓筒發(fā)生3次碰撞后仍從半徑SO方向射出，粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失，且電荷量保持不變，不計(jì)重力，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子質(zhì)量為m、電荷量大小為q，求：

(1)圓筒的半徑R；

(2)保持兩板電荷量不變，Q板保持不動(dòng)，將P板上移，讓粒子仍從P板邊緣的M點(diǎn)以2v垂直P板射入電場(chǎng)，粒子從S孔進(jìn)入圓筒后，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明粒子還能不能從S孔射出再次回到M點(diǎn)？若能，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少？

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r，粒子與圈筒發(fā)生3次碰撞后仍從S孔射出，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示：

由幾何知識(shí)可知，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為，由幾何關(guān)系得

r=R

粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得

聯(lián)立可得

(2)當(dāng)板間距為L時(shí)，粒子以2v的速度進(jìn)入電場(chǎng)，后以v的速度出電場(chǎng)，經(jīng)歷直線減速的過(guò)程，由動(dòng)能定理

解得

而保持兩板電荷量不變，Q板保持不動(dòng)，將P板上移后，電容器內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小不變，設(shè)出電場(chǎng)時(shí)的速度為，由動(dòng)能定理

解得

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，由牛頓第二定律可知

設(shè)第一個(gè)圓周的圓心角為，由幾何關(guān)系可知

即圓心角為

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)如圖2所示：

由圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)具有徑向入徑向出的特點(diǎn)，以及粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知粒子與圓筒碰撞兩次，轉(zhuǎn)過(guò)6個(gè)120°剛好從S飛出，然后再電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)就能回到M點(diǎn)，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，時(shí)間為t，有

則磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為