Question

18．如圖所示，AB為傾角θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP為圓心角等于143°、半徑R=1m的豎直光滑圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，另一自由端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的小物塊在外力作用下降彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不栓接）釋放，物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中的位移與時(shí)間的關(guān)系為x=12t-4t²（式中x單位為m，t單位是s），假設(shè)物塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后恰能到達(dá)P點(diǎn)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，試求：
（1）若CD=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2）B、C兩點(diǎn)間的距離x；
（3）若在P處安裝一個(gè)豎直彈性擋板，小物塊與擋板碰撞后速度反向，速度大小不變，小物塊與彈簧相互作用不損失機(jī)械能，試通過(guò)計(jì)算判斷物塊在第一次與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否會(huì)脫離軌道？

Answer 1

分析 （1）物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中的位移與時(shí)間的關(guān)系x=12t-5t²，根據(jù)待定系數(shù)法可以判斷出初速度和加速度的值．對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)能定理求彈簧對(duì)物塊所做的功．
（2）根據(jù)CB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系得出物體運(yùn)動(dòng)的加速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出動(dòng)摩擦因數(shù)，因?yàn)槲矬w恰好到達(dá)P點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得出P點(diǎn)的速度，通過(guò)機(jī)械能守恒定律得出B點(diǎn)的速度，然后通過(guò)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出B、C兩點(diǎn)間的距離x_BC．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理判斷物體能否返回時(shí)回到與O點(diǎn)等高的位置，若不能回到等高的位置，則小球?qū)⒉粫?huì)脫離軌道．

解答 解：（1）由x=12t-4t²知，物塊在C點(diǎn)速度為 v₀=12m/s
設(shè)物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為W，由動(dòng)能定理有
  $W-mg\overline{CD}sin37°=\frac{1}{2}mv_0^2$
代入數(shù)據(jù)得：W=156J
（2）由x=12t-4t²知，物塊從C運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中的加速度大小為 a=8m/s²
設(shè)物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由牛頓第二定律得
   mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)解得 μ=0.25
物塊在P點(diǎn)的速度滿足 $mg=m\frac{v_P^2}{R}$
物塊從B運(yùn)動(dòng)到P的過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有
   $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+mgh_pB 
又 h_pB=R（1+sin53°）
物塊從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中有 ${v}_{B}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2ax_BC
由以上各式解得 ${x_{BC}}=\frac{49}{8}m$
（3）假設(shè)物塊第一次從圓弧軌道返回并與彈簧相互作用后，能夠回到與O點(diǎn)等高的位置Q點(diǎn)，且設(shè)其速度為v_Q，
由動(dòng)能定理得
  $\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$=mgR-2μmgx_BCcos37°
解得 ${v}_{Q}^{2}$=-19＜0
可見(jiàn)物塊返回后不能到達(dá)Q點(diǎn)，故物塊在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)脫離軌道．
答：
（1）物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功是156J；
（2）B、C兩點(diǎn)間的距離x是$\frac{49}{8}$m；
（3）物塊在第一次與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)脫離軌道．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)情況，掌握臨界條件，選擇合適的規(guī)律研究．運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律進(jìn)行解答．