Question

4．如圖所示，兩塊很大的平行導(dǎo)體板MN、PQ產(chǎn)生豎直向上的勻強電場，兩平行導(dǎo)體板與一半徑為r的單匝線圈連接，在線圈內(nèi)有一方向垂直線圈平面向里，磁感應(yīng)強度變化率為$\frac{△{B}_{1}}{△t}$的勻強磁場．在兩導(dǎo)體板之間還存在有理想邊界的勻強磁場，勻強磁場分布為I、II兩個區(qū)域，其邊界為MN、ST、PQ，磁感應(yīng)強度大小均為B₂，方向如圖所示，I區(qū)域高度為d₁，II區(qū)域的高度為d₂．一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從MN板上方的O點由靜止開始下落，穿過MN板的小孔進入復(fù)合場后，恰能做勻速圓周運動，II區(qū)域的高度d₂足夠大，帶電小球在運動中不會與PQ板相碰，重力加速度為g．

（1）求線圈內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度變化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$；
（2）若帶電小球運動后恰能回到O點，求帶電小球釋放時距MN的高度h；
（3）若帶電小球從距MN的高度為3h的O’點由靜止開始下落，為使帶電小球運動后仍能回到O’點，在磁場方向不改變的情況下對兩導(dǎo)體板之間的勻強磁場作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，請你設(shè)計出兩種方案并定量表示出來．

Answer 1

分析 （1）小球能做勻速圓周運動，則有電場力與重力平衡，根據(jù)平衡條件求解出電場強度后，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解線圈內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度變化率；
（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點；結(jié)合對稱性，畫出運動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合動能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（3）由上式高度可知，從而確定磁感應(yīng)強度的變化值，并依重力與電場力相等，從而確定距離關(guān)系．

解答 解：（1）帶電小球進入復(fù)合場后恰能做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，得：
qE=mg
根據(jù)公式U=Ed得到：
E=$\frac{U}{jznrbln_{1}+dzlxxnz_{2}}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有：
U=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=πr²
解得：
$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{mg（5pj53fx_{1}+pplpjpz_{2}）}{qπ{r}^{2}}$
（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點，由于兩個磁場區(qū)的磁感應(yīng)強度大小都相等，所以半徑都為R，由圖可知△O₁O₂O₃是等邊三角形．
根據(jù)動能定理，有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
三個圓心的連線構(gòu)成等邊三角形，結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$d₁
解得：h=$\frac{2nz3ppvn_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）方案1：改變磁感應(yīng)強度
自由落體過程，根據(jù)動能定理，有：
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{6gh}$=$\sqrt{3}$v
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qv₁′B₂′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
B₂′=$\sqrt{3}$B₂
將兩板之間的勻強磁場的磁感應(yīng)強度增大為原來的$\sqrt{3}$倍．
方案2：改變磁場的寬度：
由h=$\frac{2d3bntjh_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$可知，將磁場I區(qū)的寬度增大為原來的$\sqrt{3}$倍，即d₁′=$\sqrt{3}$d₁．
磁場II區(qū)的寬度變?yōu)閐₂′=d₂-（$\sqrt{3}$-1）d₁
方案3：改變磁場邊界：磁場II區(qū)的磁場邊界下移y的距離．
當(dāng)帶電小球從距MN的高度為3h的O′點由靜止開始下落時，應(yīng)有
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qv₁B₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由第2問解析，有：
h=$\frac{2lbzvdvb_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
R₁=2d₁
畫出粒子的運動軌跡，如右圖所示，在中間勻速直線運動過程中，粒子的速度方向與豎直方向成30°角，根據(jù)幾何關(guān)系，可得
y=$\frac{{R}_{1}cos30°-R{\;}_{1}（1-cos30°）}{tan30°}$
y=（6-2$\sqrt{3}$）d₁
方案4：同時改變磁感應(yīng)強度和磁場邊界（上圖中30⁰角改為θ角）
設(shè)磁感應(yīng)強度增大k倍．B₂′=kB₂
則磁場II區(qū)域的上邊界下移y的距離
y=$\frac{{R}_{1}cosθ-{R}_{1}（1-cosθ）}{tanθ}$
式中：R₁=$\frac{25h33lrn_{1}}{k}$
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}k）^{2}}$
tanθ=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}-1}}$
答：（1）線圈內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度變化率為$\frac{mg（r3bfx3l_{1}+zvbrv3j_{2}）}{qπ{r}^{2}}$；
（2）若帶電小球運動后恰能回到O點，帶電小球釋放時距MN的高度h為$\frac{2hfv3p3h_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$；
（3）方案如上所示．

點評 考查帶電小球在復(fù)合場中做運動，結(jié)合受力分析，掌握物理規(guī)律，形成解題思路，提高分析問題的能力．