Question

15．如圖所示，為一磁約束裝置的原理圖，同心圓圓心O與xOy平面坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，半徑為R₀的圓形區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束質(zhì)量為m，電荷量為q，動(dòng)能為E₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（0、R₀）的A點(diǎn)沿y負(fù)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，粒子全部經(jīng)過坐標(biāo)為（0、R₀）的P點(diǎn)，方向沿x軸正方向．當(dāng)在環(huán)形區(qū)域Ⅱ加上方向垂直于xoy平面向外的另一勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，上述粒子仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，所有粒子恰好能夠約束在環(huán)形區(qū)域內(nèi)，且經(jīng)過環(huán)形區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后第一次沿半徑方向從區(qū)域Ⅱ射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)經(jīng)過內(nèi)圓周上的M點(diǎn)（M點(diǎn)未畫出），不計(jì)重力和粒子間的相互作用．
（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；
（2）若環(huán)形區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)強(qiáng)度B₂=$\sqrt{3}$B₁，求M點(diǎn)坐標(biāo)及環(huán)形外圓半徑R；
（3）求粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入圓形區(qū)域Ⅰ至再次以相同速度經(jīng)過A點(diǎn)的過程所通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件就能求出粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力就能求出Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．
（2）進(jìn)入Ⅱ后，粒子恰好約束在該區(qū)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由兩區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的關(guān)系，找到在Ⅱ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由幾何關(guān)系求得粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角，從而再由幾何關(guān)系就能求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和環(huán)形的外圓半徑．
（3）先找出從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ區(qū)的正反兩次偏轉(zhuǎn)再次進(jìn)入Ⅰ區(qū)時(shí)，相對(duì)OA方向偏轉(zhuǎn)的角度，若經(jīng)過m次偏轉(zhuǎn)時(shí)，粒子第一次經(jīng)過A點(diǎn)，此時(shí)轉(zhuǎn)過m周，列出方程，解出整數(shù)解，那么總路程就是m倍的一次偏轉(zhuǎn)的路程．

解答 解：（1）由題意，粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)從A點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，顯然r₁=R₀
  且  $q{B}_{1}{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$   而 ${E}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  所以  ${B}_{1}=\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{q{R}_{0}}$
（2）粒子進(jìn)入環(huán)形區(qū)域Ⅱ后做順時(shí)針方向勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有
   $q{B}_{2}{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{2}}$
  由題設(shè)條件：B₂=$\sqrt{3}$B₁，得到：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}$
   畫出粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示
  由幾何關(guān)系確定，∠POM=60°  于是M點(diǎn)的坐標(biāo)為
     x_M=R₀cos60°=$\frac{1}{2}{R}_{0}$
    y_M=-R₀sin60°=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$
  則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}{R}_{0}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$）
  由幾何關(guān)系外環(huán)的半徑R=r₂+2r₂=3r₂=$\sqrt{3}{R}_{0}$
（3）粒子在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域兩次偏轉(zhuǎn)后，從M點(diǎn)再次進(jìn)入Ⅰ區(qū)域時(shí)，圓心角轉(zhuǎn)過150°，設(shè)經(jīng)
  過m次這樣的偏轉(zhuǎn)后第一次從A點(diǎn)再交入射，此時(shí)圓心角轉(zhuǎn)過n個(gè)360°，則有：
  150m=360n  （m、n取正整數(shù)），解得：m=12，n=5．
  而粒子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)偏轉(zhuǎn)一次通過的路程s₁=$\frac{1}{4}×2π{r}_{1}+\frac{2}{3}×2π{r}_{2}$=$（\frac{1}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{9}）π{R}_{0}$   
  所以經(jīng)過12次如此偏轉(zhuǎn)后第一次通過A點(diǎn)，則總路程為S=12s=$（6+\frac{16\sqrt{3}}{3}）π{R}_{0}$
答：（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{q{R}_{0}}$．
（2）若環(huán)形區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)強(qiáng)度B₂=$\sqrt{3}$B₁，M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}{R}_{0}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$）及環(huán)形外圓半徑R為$\sqrt{3}{R}_{0}$．
（3）求粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入圓形區(qū)域Ⅰ至再次以相同速度經(jīng)過A點(diǎn)的過程所通過的總路程為$（6+\frac{16\sqrt{3}}{3}）π{R}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是由磁約束裝置編制的好題，粒子在方向相反的磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由在Ⅰ區(qū)內(nèi)的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，求出在Ⅰ區(qū)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。挥捎诹Ｗ忧『帽患s束在Ⅱ區(qū)內(nèi)，則軌跡應(yīng)外環(huán)相切，由幾何關(guān)系和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小關(guān)系從而能求出外環(huán)的半徑；第三問涉及到解整數(shù)解問題，要找一個(gè)相對(duì)OA方向偏轉(zhuǎn)的角度，列二元方程，解整數(shù)解就能求出總路程．