Question

7．在科學研究中，可以通過施加適當的磁場來實現對帶電粒子運動軌跡的控制．如圖所示，空間存在直角三角形MNQ，∠M為直角，α=$\frac{π}{3}$．有一束質量為m、電量為+q的帶電粒子以相同的速度v由三角形的M點沿MQ方向射出．在MN所在直線的右側適當區(qū)域施加垂直MNQ平面的有界勻強磁場，使帶電粒子偏轉后能沿著QN方向到達N點，所加磁場的磁感應強度為B．帶電粒子所受重力忽略不計．
（1）若所加磁場的橫截面為圓形，其最小面積為多少（q、m、v、B均為已知），磁場方向向里還是向外？
（2）若MN的長度L=1.5m，帶電柱子的質量為m=4.0×10^-8kg、電量為q=+4.0×10^-3C、速度為v=5.0×10⁴m/s，所加磁場的磁感應強度為B=1.0T，所加有界磁場的橫截面仍為圓形，帶電粒子能沿QN方向到達N點，則帶電粒子由M點到N點的時間為多少？（計算結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析 （1）設離開磁場的點為S點，當磁場區(qū)域以PS為直徑時，該區(qū)域面積是最小的；根據牛頓第二定律列式求解軌道半徑，結合幾何關系得到磁場區(qū)域圓的半徑；
（2）在磁場區(qū)域外是勻速直線運動，在磁場內是勻速圓周運動，結合幾何關系得到各個軌跡的長度即可得到總時間．

解答 解：（1）帶電粒子由P點進入有界圓形磁場區(qū)域，S點出磁場區(qū)域，如圖所示．

當PS為所加圓形磁場區(qū)域的直徑時，圓形磁場區(qū)域的面積最小，O₁為帶電粒子在有界磁場中做圓周運動的圓心、r₁為其半徑，點O₂為所施加圓形有界磁場的圓心，r₂為其半徑．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，得：
r₁=$\frac{mv}{qB}$
在三角形O₁PQ中，∠O₁QP=$\frac{π}{6}$，又O₁Q⊥PS
所以∠O₁PO₂=$\frac{π}{6}$
所以r₂=r₁cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$
所以最小區(qū)域磁場面積：S=π${r}_{2}^{2}$=$\frac{3π{m}^{2}{v}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
磁場的方向垂直紙面向外．
（2）把m=4.0×10^-8kg、q=+4.0×10^-3C、v=5.0×10⁴m/s，B=1.0T代入r₁=$\frac{mv}{qB}$，
得帶電粒子做圓周運動的半徑r₁=$\frac{4.0×1{0}^{-8}×5.0×1{0}^{4}}{4.0×1{0}^{-3}×1.0}$m=0.5m
因為MN=3r₁，所以使帶電粒子能沿QN方向到達N點，必須在M點進入磁場，S點出磁場，如圖所示．

所加有界磁場區(qū)域的半徑為MO₂，帶電粒子圓周運動的半徑為MO₁．有幾何關系∠MO₁S=$\frac{2π}{3}$．
T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2×3.14×4×1{0}^{-8}}{4×1{0}^{-3}×1}$=6.3×10^-5s
帶電粒子在磁場運動的時間為$\frac{1}{3}$個周期，所以
t₁=$\frac{1}{3}$T═2.1×10^-5s
出磁場后，O₁N=L-MO₁=1.5-0.5=1.0m，在直角三角形O₁SN中，因為∠O₁NS=$\frac{π}{6}$，
所以SN=O₁Ncos$\frac{π}{6}$=1.0×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
所以t₂=$\frac{SN}{v}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{5×1{0}^{4}}$s=1.7×10^-5s
所以總時間：
t=t₁+t₂=2.1×10^-5+1.7×10^-5=3.8×10^-5s
答：（1）若所加磁場的橫截面為圓形，其最小面積為，磁場方向向外；
（2）帶電粒子由M點到N點的時間為3.8×10^-5s．

點評 本題關鍵是明確粒子的運動情況，畫出臨界軌跡，然后結合牛頓第二定律列式求解，不難．