Question

【題目】由中國(guó)科學(xué)院、中國(guó)工程院兩院院士評(píng)出的2012年中國(guó)十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號(hào)”成功對(duì)接和“蛟龍”號(hào)下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號(hào)軌道距離地面高度為h．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．求

（1）“天宮一號(hào)”繞地心轉(zhuǎn)一周的時(shí)間是多少？

（2）“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度之比為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：

地球表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，即：

聯(lián)立解得：

（2）令地球的密度為ρ，對(duì)地球表面的物體：

由于地球的質(zhì)量為： ，所以重力加速度的表達(dá)式可寫成：

根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力 ，

“天宮一號(hào)”的加速度為

根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于（R﹣d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故海底的重力加速度g2= πGρ（R﹣d）．

所以有

所以