Question

14．如圖所示，有一質量m=1kg的小物塊，在平臺右邊沿以初速度v_o=3m/s水平飛出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的半徑R=0.5m的粗糙圓弧軌道，最后�。畨K滑上靠軌道末端D點的質量M=3kg的長木板，長木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，長木板下表面與水平地面之間光滑接觸．當小物塊在木板上相對木板運動l=1m時，與木板有共同速度．小物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計空氣阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）物塊到達C點時速度的大小； 
（2）物塊到達圓弧軌道末端D點時速度的大小； 
（3）物塊通過圓弧軌道的過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A點拋出做平拋運動，恰好沿C點的切線方向進入，根據(jù)幾何關系求出C點的速度即可；
（2）根據(jù)牛頓第二定律及動能定理，求出D點的速度
（3）對A到D的過程運用動能定理求出物塊通過圓弧軌道克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）設小物塊到C點時的速度為v，
恰好沿C點的切線方向進入粗糙圓弧軌道
則根據(jù)幾何關系：v₀=vcos53°
所以v=$\frac{{v}_{0}}{cos57°}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
（2）小物塊在木板上滑行達到共同速度的過程
木板的加速度大�。篴₁=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×10}{3}$=1m/s²，
物塊的加速度大�。篴₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.3×10=3m/s²，
由題意得：a₁t=v_D-a₂t，
${v}_{D}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=l
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得v_D=$2\sqrt{2}$，
（3）小物塊由A到D的過程中，由動能定理得
mgh+mgR（1-cos 53°）-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$   
代入數(shù)據(jù)解得W=10.5J 
答：（1）物塊到達C點時速度的大小為5m/s； 
（2）物塊到達圓弧軌道末端D點時速度的大小為2$\sqrt{2}$m/s； 
（3）物塊通過圓弧軌道的過程中克服摩擦力做的功為10.5J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．