Question

13．一單擺在山腳處的周期為T₁，將其移至山頂，保持?jǐn)[長不變，周期變?yōu)門₂，山腳處到地球中心的距離為R，則山頂?shù)缴侥_的高度差h=$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力和物體受到的重力的大小相等可以求得在地面上和高度為h處的重力加速度大小的表達(dá)式，進(jìn)而由單擺的周期公式可以求得高度的大�。�

解答 解：設(shè)單擺的擺長為L，地球的質(zhì)量為M，則據(jù)萬有引力定律可得地面的重力加速度和高度為h時的重力加速度分別為：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$…①
g′=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$…②
方程左右兩邊相除得：$\frac{g}{g′}=\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$…③
據(jù)單擺的周期公式可知T₁=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$…④
T₂=2π$\sqrt{\frac{L}{g′}}$…⑤
兩邊相比得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{g′}{g}}$
即$\frac{g}{g′}=\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…⑥
聯(lián)立③⑥得：$h=\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$
故答案為：$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$

點評 單擺的周期是由單擺的擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度的大小共同決定的，在不同的地方，重力加速度的大小是不同的．