Question

5．如圖所示，P是水平面上的圓弧凹槽．從高臺(tái)邊B點(diǎn)以速度v₀水平飛出的小球，恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧軌道的左端A沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道．O是圓弧的圓心，θ₁是OA與豎直方向的夾角，θ₂是BA與豎直方向的夾角．
（1）求小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度vA的大小和方向；
（2）若用θ₂表示BA與豎直方向的夾角，試推出θ₂和θ₁滿足的關(guān)系式（用正切函數(shù)表示）；
（3）若小球滑至圓弧凹槽最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，求此時(shí)小球?qū)Π疾鄣膲毫Γ?

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形定則，抓住小球恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧軌道的左端A沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道，求出小球在A點(diǎn)的速度大小和方向．
（2）結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，通過平行四邊形定則得出θ₂和θ₁的正切值，從而得出兩者滿足的關(guān)系．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而結(jié)合牛頓第三定律求出小球?qū)Π疾鄣膲毫Γ?/p>

解答 解：（1）根據(jù)平行四邊形定則知，$cos{θ}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{A}}$，
所以${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向與水平方向的夾角為θ₁．
（2）小球從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，
有：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
且$tan{θ}_{2}=\frac{x}{y}=\frac{2{v}_{0}}{gt}$
解得t=$\frac{2{v}_{0}}{gtan{θ}_{2}}$，
到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，${v}_{y}=gt=\frac{2{v}_{0}}{tan{θ}_{2}}$，
由題意知，v_A與OA垂直，則有：$tan{θ}_{1}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2}{tan{θ}_{2}}$，
所以tanθ₁•tanθ₂=2．
（3）小球在凹槽的最低點(diǎn)有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由牛頓第三定律得，小球?qū)Π疾鄣膲毫��?{F}_{N}′=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
方向豎直向下．
答：（1）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度的大小為$\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向與水平方向的夾角為θ₁．
（2）θ₂和θ₁滿足的關(guān)系式為tanθ₁•tanθ₂=2．
（3）小球?qū)Π疾鄣膲毫��?mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．