Question

11．如圖所示，斜面傾角為θ，在斜面底端垂直斜面固定一擋板，輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板上，質(zhì)量為M=1.0kg的木板與輕彈簧接觸但不拴接，彈簧與斜面平行且為原長(zhǎng)，在木板右上端放一質(zhì)量為m=2.0kg的小金屬塊，金屬塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.75，木板與斜面粗糙部分間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.25，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．小金屬塊突然獲得一個(gè)大小為v₁=5.3m/s、方向平行斜面向下的速度，沿木板向下運(yùn)動(dòng)．當(dāng)彈簧被壓縮x=0.5m到P點(diǎn)時(shí)，金屬塊與木板剛好達(dá)到相對(duì)靜止，且此后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩者一直沒(méi)有發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．設(shè)金屬塊從開始運(yùn)動(dòng)到與木塊達(dá)到相同速度共用時(shí)間t=0.75s，之后木板壓縮彈簧至最短，然后木板向上運(yùn)動(dòng)，彈簧彈開木板，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，已知sinθ=0.28、cosθ=0.96（g取10m/s²）（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字），求：
（1）求木板開始運(yùn)動(dòng)瞬間木板和小金屬塊的加速度；
（2）求彈簧被壓縮到P點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能是多少？
（3）假設(shè)木板在由P點(diǎn)壓縮彈簧到彈回到P點(diǎn)過(guò)程中不受斜面摩擦力作用，木板離開彈簧后沿斜面向上滑行的距離？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用隔離法分別對(duì)金屬塊和長(zhǎng)木板進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求加速度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得彈簧壓縮過(guò)程中做的功，再根據(jù)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系求得彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求得木板離開彈簧后的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求得木板上滑的最大距離．

解答 解：（1）對(duì)金屬塊，由牛頓第二定律可知：μ₁mgcosθ-mgsin θ=ma         
解得：a=4.4 m/s²，沿斜面向上
木板受到金屬塊的滑動(dòng)摩擦力F₁=μ₁mgcosθ=14.4 N，沿斜面向下
木板受到斜面的滑動(dòng)摩擦力F₂=μ₂（M+m）gcosθ=7.2 N，沿斜面向上
木板開始運(yùn)動(dòng)瞬間的加速度a₀=$\frac{Mgsinθ+{F}_{1}-{F}_{2}}{M}$=10 m/s²，沿斜面向下
（2）設(shè)金屬塊和木板達(dá)到共同速度為v₂，對(duì)金屬塊，應(yīng)用速度公式有
v₂=v₁-at=2.0 m/s
在此過(guò)程中分析木板，設(shè)彈簧對(duì)木板做功為W，其余力做功為Ma₀x，
對(duì)木板運(yùn)用動(dòng)能定理得：Ma₀x+W=$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得W=-3.0 J，
說(shuō)明此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_p=3.0 J
（3）從金屬塊和木板達(dá)到共速后壓縮彈簧到速度減小為0后反向彈回剛離開彈簧的整個(gè)過(guò)程，設(shè)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)木板和金屬塊的速度為v₃，在此過(guò)程中對(duì)木板和金屬塊整體來(lái)說(shuō)，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒得：
E_p-（F₂+Mgsinθ+mgsinθ）x=$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²
木板離開彈簧后，設(shè)滑行距離為s，對(duì)整體由動(dòng)能定理得：
-（M+m）g（μ₂cos θ+sin θ）s=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²    
解得：s=0.077 m
答：（1）木板開始運(yùn)動(dòng)瞬間木板的加速度大小為10 m/s²，方向沿斜面向下，小金屬塊的加速度大小為4.4 m/s²，方向沿斜面向上；
（2）彈簧被壓縮到P點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能是3.0 J；
（3）假設(shè)木板在由P點(diǎn)壓縮彈簧到彈回到P點(diǎn)過(guò)程中不受斜面摩擦力作用，木板離開彈簧后沿斜面向上滑行的距離為0.077m．

點(diǎn)評(píng) 在應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，此類問(wèn)題，還要對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理．