Question

10．如圖所示，水平面上方掛一個擺長為L，擺球質(zhì)量為m的單擺，若此擺球位于光滑水平面上，懸點到水平面的距離為h（h＜L），擺球在水平面上以n轉(zhuǎn)/秒的轉(zhuǎn)速作勻速圓周運動，求水平面受到的壓力，為使擺球不離開水平面，求轉(zhuǎn)速n的最大值．

Answer 1

分析 要使球不離開水平面，臨界情況是對水平面的壓力為零，靠拉力和重力的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)動軸的最大角速度，從而得出轉(zhuǎn)速的最大值．

解答 解：對小球受力分析，如圖：
根據(jù)牛頓第二定律，水平方向：Tsinθ=mω²•Lsinθ
豎直方向：Tcosθ+N=mg
聯(lián)立得：N=mg-mω²•Lcosθ
ω=2πn
根據(jù)牛頓第三定律：
N′=N=mg-mω²•Lcosθ=mg-mω²h=mg-4π²n²mh．
當小球?qū)λ�平面的壓力為零時，有：Tcosθ=mg，Tsinθ=mlsinθω²，
解得最大角速度為：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{h}}$，
則最大轉(zhuǎn)速為：n_max=$\frac{ω}{2π}=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$
答：水平面受到的壓力為mg-4π²n²mh，為使擺球不離開水平面，轉(zhuǎn)速n的最大值為$\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵抓住小球不脫離水平面的臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，知道角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系．