Question

12．月球繞其“月軸”自轉(zhuǎn)的周期與其繞地球公轉(zhuǎn)的周期相同均為T．設(shè)想我國(guó)發(fā)射的質(zhì)量為m的月球探測(cè)車“玉兔”在月球赤道處所受的“重力”為G₁，萬(wàn)有引力常量為G，月球的半徑為R．求：
（1）月球的質(zhì)量．
（2）若在月球上發(fā)射一顆近月衛(wèi)星，發(fā)射速度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）月球上的物體隨地球自轉(zhuǎn)，做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供，萬(wàn)有有引力的另一個(gè)分力是重力，據(jù)此列式求解月球質(zhì)量；
（2）根據(jù)質(zhì)量為m的月球探測(cè)車“玉兔”在月球赤道處所受的“重力”為G₁，求出月球表面重力加速度，再根據(jù)v=$\sqrt{gR}$求解．

解答 解：（1）在月球赤道處的物體隨月球一起自轉(zhuǎn)，根據(jù)合力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-{G}_{1}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}+\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m}$
（2）質(zhì)量為m的月球探測(cè)車“玉兔”在月球赤道處所受的“重力”為G₁，則月球表面重力加速度g=$\frac{{G}_{1}}{{m}_{1}}$，
則在月球上發(fā)射一顆近月衛(wèi)星，發(fā)射速度至少為v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{{m}_{1}}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}+\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m}$．
（2）若在月球上發(fā)射一顆近月衛(wèi)星，發(fā)射速度至少是$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{{m}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要知道向心力的來(lái)源，知道萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供向心力，萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力是重力，難度適中．