Question

3．如圖，木板A靜止在光滑水平面上，其左端與固定臺(tái)階相距x．與滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）相連的細(xì)線一端固定在O點(diǎn)．水平拉直細(xì)線并給B一個(gè)豎直向下的初速度，當(dāng)B到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)線恰好被拉斷，B從A右端的上表面水平滑入．A與臺(tái)階碰撞無機(jī)械能損失，不計(jì)空氣阻力．已知A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m，A、B之間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ；細(xì)線長為L、能承受的最大拉力為B重力的5倍；A足夠長，B不會(huì)從A表面滑出；重力加速度為g．

（1）求B的初速度大小v₀和細(xì)線被拉斷瞬間B的速度大小v₁；
（2）A與臺(tái)階只發(fā)生一次碰撞，求x滿足的條件；
（3）x在滿足（2）條件下，討論A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律、結(jié)合牛頓第二定律，通過繩子的最大拉力求出B的初速度大小v₀和細(xì)線被拉斷瞬間B的速度大小v₁．
（2）若A與臺(tái)階只碰撞一次，碰撞后必須滿足A的動(dòng)量大小大于B的動(dòng)量，結(jié)合動(dòng)能定理求出A與臺(tái)階只能碰撞一次的條件．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出A左端到臺(tái)階板前瞬間，A、B恰好達(dá)到共同速度木板A移動(dòng)的位移x₀，然后分情況討論，當(dāng)x≥x₀物塊與木板共速后與臺(tái)階碰撞，當(dāng)x₀＞x物塊與木板共速前與臺(tái)階碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律結(jié)合動(dòng)能定理求出A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度．

解答 解：（1）滑塊B從釋放到最低點(diǎn)，機(jī)械能守恒，有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
在最低點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：$T-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$…②
又：T=5mg…③
聯(lián)立①②③得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$，v₁=$2\sqrt{gL}$  
（2）設(shè)A與臺(tái)階碰撞前瞬間，A、B的速度分別為v_A和v_B，由動(dòng)量守恒
mv₁=mv_B+2mv_A…④
若A與臺(tái)階只碰撞一次，碰撞后必須滿足：|2mv_A|＞|mv_B|…⑤
對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理：
$μmgx=\frac{1}{2}×2m{v}_{A}^{2}$…⑥
聯(lián)立④⑤⑥解得：$x≥\frac{L}{4μ}$，…⑦
即A與臺(tái)階只能碰撞一次的條件是：$x≥\frac{L}{4μ}$．
（3）設(shè)x=x₀時(shí)，A左端到臺(tái)階板前瞬間，A、B恰好達(dá)到共同速度v_AB，
由動(dòng)量守恒  mv₁=（m+2m）v_AB…⑧
對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理：$μmg{x}_{0}=\frac{1}{2}×2m{v}_{AB}^{2}$…⑨
聯(lián)立⑧⑨得：${x}_{0}=\frac{4L}{9μ}$…⑩
（i）當(dāng)x≥x₀即$x≥\frac{4L}{9μ}$時(shí)，AB共速后A與擋板碰撞．
由⑧可得A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速${v}_{A1}={v}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{3}=\frac{2\sqrt{gL}}{3}$…⑩
（ii）當(dāng)${x}_{0}＞x≥\frac{L}{4μ}$即$\frac{4L}{9μ}＞x≥\frac{L}{4μ}$時(shí)，AB共速前A就與臺(tái)階碰撞，
對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理：$μmgx=\frac{1}{2}×2m{v}_{A2}^{2}$
A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度：v_A2=$\sqrt{μgx}$
答：（1）B的初速度大小為$\sqrt{2gL}$，細(xì)線被拉斷瞬間B的速度大小為$2\sqrt{gL}$；
（2）A與臺(tái)階只發(fā)生一次碰撞，求x滿足的條件$x≥\frac{L}{4μ}$．
（3）$x≥\frac{4L}{9μ}$時(shí)，A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度$\frac{2\sqrt{gL}}{3}$，$\frac{4L}{9μ}＞x≥\frac{L}{4μ}$時(shí)，A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度$\sqrt{μgx}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，是一道難題．在第三問中可能AB共速后與臺(tái)階碰撞，可能共速前與臺(tái)階碰撞．