Question

3．如圖所示，一柱形玻璃的橫截面是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，圓心為O₁，x軸與半圓弧的直徑垂直、相切于O點(diǎn)．一單色光平行于x軸從P點(diǎn)射入玻璃，O與入射光線的距離為d，單色光在玻璃中的折射率為n=$\sqrt{2}$，光在真空中的傳播速度為c，不考慮單色光經(jīng)AO面反射后的情況．求：
①若d=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R，該單色光從P點(diǎn)進(jìn)入玻璃開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多長時(shí)間光線從AO面射出？
②當(dāng)d→0時(shí)，求該單色光照射到x軸上的坐標(biāo)．（θ很小時(shí)，sinθ≈θ，tanθ≈θ）

Answer 1

分析 ①若d=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R，先由幾何關(guān)系求出該單色光在P點(diǎn)折射時(shí)的入射角，由折射定律求出折射角．再由正弦定理求出光在玻璃內(nèi)傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃內(nèi)傳播的速度，從而求得光線從P到AO面射出的時(shí)間．
②當(dāng)d→0時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求該單色光照射到x軸上的坐標(biāo)．

解答 解：①由幾何關(guān)系得入射角i的正弦為 sini=$\fraclzwaulj{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得 i=45°，
由折射定律，有$n=\frac{sini}{sinγ}$，γ=30°
設(shè)光線從P傳到AO面通過的距離為l．
由正弦定理，得$\frac{R}{{sin（{i+γ}）}}=\frac{l}{sini}$，得 $l=（{\sqrt{3}-1}）R$
則所求時(shí)間 $t=\frac{l}{v}=\frac{{（{\sqrt{3}-1}）R}}{{\frac{c}{n}}}=\frac{{（{\sqrt{6}-\sqrt{2}}）R}}{c}$．
②在△PCO中，根據(jù)正弦定理得，$\frac{R}{sin[90°+（i-r）]}=\frac{OC}{sinr}$，
解得OC=$\frac{Rsinr}{sin[90°+（i-r）]}$，
在△COD中，x=$\frac{OC}{tanα}$=$\frac{OC}{sinα}$，
因?yàn)?\frac{sinα}{sin（i-r）}=n$，當(dāng)d→0時(shí)，sinα=α，sin（i-r）=i-r，sin[90°+（i-r）]=1，
整理可得x=$\frac{Rsinr}{nsin[90°+（i-r）]sin（i-r）}$=$\frac{R}{\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）}$=$R（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
答：①該單色光從P點(diǎn)進(jìn)入玻璃開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{c}$時(shí)間光線從AO面射出；
②該單色光照射到x軸上的坐標(biāo)$x=R（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是作出光路圖，運(yùn)用幾何知識輔助分析，結(jié)合折射定律和數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解．