Question

4．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，某行星的質(zhì)量約為地球的9倍，半徑約為地球的2倍，試求：
（1）該行星表面的重力加速度為多少？（忽略星球的自轉(zhuǎn)）
（2）該星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
（3）若該行星自轉(zhuǎn)周期為T，該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑為多少？

Answer 1

分析 由重力加速度的表達(dá)式及行星與地球的質(zhì)量之比，半徑之比求得重力加速度之比．由第一宇宙速度表達(dá)式及行星與地球的質(zhì)量之比、半徑之比求得第一宇宙速度．

解答 解：（1）在表面由重力等于萬有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
星球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比：
$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{行}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{行}^{2}}$=$\frac{9{M}_{地}}{{M}_{地}}$×（$\frac{{R}_{地}}{{2R}_{地}}$）²=$\frac{9}{4}$，
行星的重力加速度：g_行=$\frac{9}{4}$g；
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
某行星上的第一宇宙速度與地球上的第一宇宙速度之比：
$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{行}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{行}}}$=$\sqrt{\frac{9{M}_{地}}{{M}_{地}}×\frac{{R}_{地}}{{2R}_{地}}}$=$1.5\sqrt{2}$，
所以這行星的第一宇宙速度：v_行=$1.5\sqrt{2}$v_地．
（3）該行星自轉(zhuǎn)周期為T，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{G{M}_{行}m}{{r}_{行}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•{r}_{行}$
得：${r}_{行}=\root{3}{\frac{G{M}_{行}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{9G{M}_{地}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）該行星表面的重力加速度為$\frac{9}{4}g$；
（2）該星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$1.5\sqrt{2}$倍；
（3）若該行星自轉(zhuǎn)周期為T，該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)第一宇宙速度的表達(dá)式列式求解，其中第一宇宙速度為貼近星球表面飛行的衛(wèi)星的環(huán)繞速度！