Question

10．如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質(zhì)量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速v₀射入圓管．
（1）若要小球能從C端出來(lái)，初速v₀至少多大？
（2）在小球從C端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力有哪幾種典型情況．初速v₀各應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球恰好能從C端出來(lái)時(shí)，速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度不同，管壁對(duì)球的作用力大小和方向不同，分析討論：當(dāng)管壁對(duì)球無(wú)作用力時(shí)，在C點(diǎn)由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出初速v₀．當(dāng)初速度大于和小于臨界速度時(shí)，由向心力知識(shí)分析管壁對(duì)球的作用力大小和方向．

解答 解：（1）當(dāng)球恰好能從C端出來(lái)時(shí)，速度v_C=0．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$，
解得：v₀=2$\sqrt{gR}$
所以要使小球能從C端出來(lái)，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球從C端出來(lái)的瞬間，對(duì)管壁壓力有三種典型情況：
①當(dāng)管壁對(duì)球無(wú)作用力時(shí)，即N=0時(shí)，由mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg•2R+$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$．
②當(dāng)管壁對(duì)球的作用力方向向下時(shí)，球?qū)�管壁的壓力方向向上，此時(shí)v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③當(dāng)管壁對(duì)球的作用力方向向上時(shí)，球?qū)�管壁的壓力方向向下，此時(shí)2$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．
答：（1）要使小球能從C端出來(lái)，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球從C端出來(lái)的瞬間，對(duì)管壁壓力有三種典型情況：
①球?qū)�管壁無(wú)作用力，v₀=$\sqrt{5gR}$．
②球?qū)�管壁的壓力方向向上，v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③球?qū)�管壁的壓力方向向下�?$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律與向心力知識(shí)的結(jié)合，考查綜合應(yīng)用物理規(guī)律的能力．對(duì)于小球在管子里的運(yùn)動(dòng)情形與輕桿模型類似，關(guān)鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點(diǎn)和在最高點(diǎn)恰好不受管壁作用力兩種情況．