Question

15．如圖所示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的水平傳送帶AB與水平桌面CD在BC處無(wú)縫連接，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道PN，其形狀為45°的半徑R=0.8m的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．傳送帶以a=1m/s²的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度為v₀=2m/s時(shí)將一個(gè)質(zhì)量m=2kg的物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為X=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線(xiàn)落入圓軌道．g=10m/s²，求：

（1）物塊過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度　　　　　　　　
（2）BD間的水平距離．
（3）物塊過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道受到的壓力　　　
（4）傳送帶的長(zhǎng)度和物塊到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）物塊離開(kāi)D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由P點(diǎn)沿圓軌道切線(xiàn)落入圓軌道，知道了到達(dá)P點(diǎn)的速度方向，將P點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用位移公式和速度公式得出時(shí)間和豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開(kāi)D點(diǎn)時(shí)的速度v_D．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$進(jìn)行比對(duì)，得到物塊通過(guò)B點(diǎn)后的初速度和加速度，由速度位移公式即可求得BD間的距離．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒求得物塊經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求物塊對(duì)軌道的壓力．
（4）根據(jù)位移時(shí)間公式求解傳送帶的長(zhǎng)度，并求得時(shí)間．由速度公式求出從B到D的時(shí)間，即可求得從BA運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間．

解答 解：（1）依題意可知，平拋經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度與水平方向夾角為45°．
有：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$
平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有：
v_y=gt₃
R=$\frac{1}{2}$gt₃²
解得物體平拋的時(shí)間為：t₃=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s，
豎直分速度為：v_y=gt₃=4m/s  
平拋水平初速度為：V_D=4m/s
即物塊過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度是4m/s．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式x=v₀t+$\frac{1}{2}$at²進(jìn)行比對(duì)，由可知物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)速度 v_B=6m/s，由B運(yùn)動(dòng)到D的加速度大小為：a′=-4m/s²．
又 v_D=4m/s
故物體由B運(yùn)動(dòng)到D的時(shí)間為：t₂=$\frac{{v}_{D}-{v}_{B}}{a′}$=$\frac{4-6}{-4}$s=0.5s
BD間的水平距離為：S=$\frac{{v}_{D}+{v}_{B}}{2}{t}_{2}$=$\frac{4+6}{2}×0.5$m=2.5m
（3）從D到N，由機(jī)械能守恒得：
mg[R+R（1-cos45°）]=$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在N點(diǎn)，有：N-mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=（140-20$\sqrt{2}$）N
由牛頓第三定律得知物塊過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道受到的壓力為：N′=N=（140-20$\sqrt{2}$）N
（4）物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度為：a″=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²；
則傳送帶的長(zhǎng)度為：L=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a″}$=$\frac{{6}^{2}}{2×3}$=6m
物體由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{B}}{a″}$=$\frac{6}{3}$s=2s
故物塊從A到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=2.9s
答：（1）物塊過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度是4m/s．　　　　　　　　
（2）BD間的水平距離是2.5m．
（3）物塊過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道受到的壓力是（140-20$\sqrt{2}$）N．　　　
（4）傳送帶的長(zhǎng)度是6m，物塊到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間是2.9s．

點(diǎn)評(píng) 該題是直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，關(guān)鍵要正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法分析平拋運(yùn)動(dòng)，判斷向心力的來(lái)源，由力學(xué)規(guī)律解答．