Question

18．如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場．在t=0時刻，一位于正方形區(qū)域中心O的粒子源在abcd平面內向各個方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場中做圓周運動的半徑恰好等于正方形邊長，不計重力和粒子之間的相互作用力．已知平行于ad方向發(fā)射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界cd上的某點離開磁場，（已知sin$\frac{23π}{200}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$）求：
（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場所用的時間；
（3）假設粒子源發(fā)射的粒子在各個方向均勻分布，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子數與粒子發(fā)射的總粒子數之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由題粒子的軌跡半徑等于正方形的邊長．畫出平行于ad方向發(fā)射的粒子運動軌跡，由幾何關系求出軌跡的圓心角θ，根據t=t₀=$\frac{θ}{2π}$，及周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$求得$\frac{q}{m}$．
（2）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的軌跡半徑相等，運動軌跡最長的粒子在磁場中運動時間也最長，畫出在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡，根據幾何知識確定出該粒子軌跡對應的圓心角，即可求出最長時間，即為從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間．
（3）由題意，同一時刻在磁場中的粒子到O點的距離應相等，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子應位于以O為圓心、OK為半徑的圓弧上，畫出軌跡，根據幾何知識求得在磁場中運動的粒子區(qū)域的圓心角，即可求得仍在磁場中的粒子數與粒子源發(fā)射的總粒子數之比．

解答 解：（1）初速度平行于ad方向發(fā)射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖甲所示，

其圓心為O₁，由幾何關系有∠OO₁k=$\frac{π}{6}$
則t₀=$\frac{1}{12}$T，即T=12t₀
粒子做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供．設粒子做圓周運動的半徑為R，根據牛頓第二定律有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又v=$\frac{2πR}{T}$
由以上幾式可得$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{6B{t}_{0}}$
（2）如圖乙所示，在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應過正方形的頂點．

設粒子運動軌跡對應的圓心角為θ，則sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
在磁場中運動的最長時間t=$\frac{θ}{2π}$T
所以從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場所用的時間為
t=$\frac{69}{50}$t₀
（3）依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到O點距離相等，在t₀時刻仍在磁場中的粒子應位于以O為圓心、Ok為半徑的弧上，如圖丙所示．
由幾何關系知∠nOk=$\frac{π}{12}$
此時刻仍在磁場中的粒子數與粒子發(fā)射的總粒子數之比為：
$\frac{2π-8×\frac{π}{12}}{2π}$=$\frac{2}{3}$

答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{π}{6B{t}_{0}}$；
（2）從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場所用的時間為$\frac{69}{50}$t₀；
（3）假設粒子源發(fā)射的粒子在各個方向均勻分布，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子數與粒子發(fā)射的總粒子數之比為$\frac{2}{3}$．

點評 本題的解題關鍵是畫出粒子的運動軌跡，根據幾何知識確定隱含的極值條件和粒子運動軌跡對應的圓心角．