Question

19．小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為3kg的小球，繩子能承受的最大位力為110N，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行一段水平距離后落地．如圖所示．已知握繩的手離地面高度為4m，手與球之間的繩長(zhǎng)為3m，重力加速度為g=10m/s²．忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷時(shí)球的速度大小v₁和球落地時(shí)的速度大小v₂；
（2）求小球平拋的水平距離；
（3）改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定理求出繩斷時(shí)球的速度大�。�根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合速度時(shí)間公式求出落地時(shí)的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出落地的速度．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的初速度和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度表達(dá)式，結(jié)合高度求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的表達(dá)式，從而得出水平距離的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出繩長(zhǎng)為多大時(shí)距離最大．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：$F-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得繩斷時(shí)球的速度大小為：v₁=$4\sqrt{5}$m/s．
根據(jù)$d-R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2（d-R）}{g}}=\sqrt{\frac{2×（4-3）}{10}}s=\frac{\sqrt{5}}{5}s$，
則球落地時(shí)的豎直分速度為：${v}_{y}=gt=10×\frac{\sqrt{5}}{5}m/s=2\sqrt{5}m/s$，
根據(jù)平行四邊形定則知，落地的速度為：${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{80+20}$m/s=10m/s．
（2）小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離為：x=${v}_{1}t=4\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}m=4m$．
（3）當(dāng)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{80L}{3}}$m/s，
根據(jù)d-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：$t=\sqrt{\frac{d-L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4-L}{10}}$，
則水平距離為：x=$vt=\sqrt{\frac{80L}{3}}×\sqrt{\frac{4-L}{10}}=\sqrt{\frac{8L（4-L）}{3}}$=$\sqrt{\frac{-8（L-2）^{2}+32}{3}}$，
知繩長(zhǎng)L=2m時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離最大，最大水平距離為：x=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$m．
答：（1）繩斷時(shí)球的速度大小為$4\sqrt{5}$m/s，球落地時(shí)的速度大小為10m/s．
（2）小球平拋的水平距離為4m．
（3）要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是2m，最大水平距離為$\frac{4\sqrt{6}}{3}m$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．