Question

2．我國首個月球探測計劃“嫦娥“工程預(yù)計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址作做準備．設(shè)想載有機器人的“嫦娥”號登月飛，飛船繞行方向與月球自轉(zhuǎn)方向相同．若飛船在月球上某標識物正上方通過后，至少經(jīng)t時間再次經(jīng)過該標識物正上方．飛船登陸月球，機器人測得某質(zhì)量為m的樣品重力為F．已知月球自轉(zhuǎn)周期為T、引力常量為G．請試根據(jù)以上信息求：
（1）該飛船繞月飛行的周期T₁；
（2）月球的半徑R；
（3）月球的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）再次經(jīng)過該標識物正上方時，飛船比月球多轉(zhuǎn)一周，由周期關(guān)系即可求出飛船的周期；
（2）根據(jù)萬有引力定律提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律即可求出半徑；
（3）第一宇宙速度是近地軌道上的速度，由萬有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）設(shè)飛船繞月球的周期為T₁，則：
$\frac{t}{{T}_{1}}-\frac{t}{T}=1$
解得：${T}_{1}=\frac{tT}{t+T}$
（2）根據(jù)萬有引力定律提供向心力得：$F=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}_{1}^{2}}$
解得：$R=\frac{F{t}^{2}{T}^{2}}{m•4{π}^{2}（t+T）^{2}}$
（3）設(shè)月球的第一宇宙速度v₁．根據(jù)萬有引力定律提供向心力得：$F=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：v₁=$\frac{FtT}{2πm（T+t）}$
答：（1）該飛船繞月飛行的周期是$\frac{tT}{t+T}$；
（2）月球的半徑是$\frac{F{t}^{2}{T}^{2}}{m•4{π}^{2}{（t+T）}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度是$\frac{FtT}{2πm（T+t）}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用即可正確解答．