Question

如圖所示，真空中的矩形abcd區(qū)域內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓形邊界分別相切于ad、bc邊的中點(diǎn)e、f．一帶電粒子以初速度v₀沿著ef方向射入該區(qū)域后能做直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)撤去磁場(chǎng)并保留電場(chǎng)，粒子以相同的初速度沿著ef方向射入恰能從c點(diǎn)飛離該區(qū)域．已知ad=bc=

4 3

3

R，忽略粒子的重力．求：
（1）帶電粒子的電荷量q與質(zhì)量m的比值

q

m

；
（2）若撤去電場(chǎng)保留磁場(chǎng)，粒子離開(kāi)矩形區(qū)域時(shí)的位置．

Answer 1

分析：（1）本題先分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，并把握每個(gè)過(guò)程遵守的規(guī)律：未撤去磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡；撤去磁場(chǎng)后，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知水平距離x=2R，豎直距離y=

1

2

bc=

2 3

3

R，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出比荷．
（2）若撤去電場(chǎng)保留磁場(chǎng)，粒子將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求得軌跡半徑，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子離開(kāi)矩形區(qū)域時(shí)的位置．

解答：解：（1）設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，粒子沿ef方向做直線運(yùn)動(dòng)，有：
  qv₀B=qE…①
當(dāng)撤去磁場(chǎng)，保留電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由題，粒子恰能從c點(diǎn)飛出，則
 水平方向有：2R=v₀t  ②
 豎直方向有：

1

2

bc=

1

2

at2 ③
            qE=ma  ④
聯(lián)解①②③④得：
  

q

m

=

3 v0

3BR

…⑤
（2）若撤去電場(chǎng)保留磁場(chǎng)，粒子將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示．
設(shè)粒子離開(kāi)矩形區(qū)域時(shí)的位置g離b的距離為x，則由牛頓第二定律：
qv0B=m

v2

r

…⑦
得，r=

mv0

qB

=

3BR

3 v0

?

v0

B

=

3

R
由圖中幾何關(guān)系得：
粒子的軌跡半徑為r=Rtanθ=

3

R…⑧
得θ=60°
故粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)到b的距離為x=

1

2

ab-

1

2

bc?cotθ…⑨
代入解得：x=

R

3

…⑩
答：
（1）帶電粒子的電荷量q與質(zhì)量m的比值

q

m

等于

3 v0

3BR

．
（2）若撤去電場(chǎng)保留磁場(chǎng)，粒子離開(kāi)矩形區(qū)域時(shí)的位置離b的距離為

R

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題中帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)，磁場(chǎng)中關(guān)鍵畫(huà)出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．