Question

如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)小孔A進(jìn)入半徑R=0.3m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長L=2m，

1

2

mv2+mgh，小球質(zhì)量為m=0.5kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

分析：（1）擺球擺到D點(diǎn)時(shí)，擺線的拉力最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出擺球擺到D點(diǎn)時(shí)速度，由牛頓第二定律求出擺線的最大拉力．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道，并且不脫離軌道，有兩種情況：一種在圓心以下做等幅擺動(dòng)；另一種能通過圓軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
小球要?jiǎng)偤眠\(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，對(duì)小球從D到A的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ的最大值；
若小球進(jìn)入A孔的速度較小，并且不脫離軌道，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道，其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)．
要使擺球能進(jìn)入圓軌道，恰好到達(dá)軌道的最高點(diǎn)，就剛好不脫離軌道，在最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時(shí)小球的速度，對(duì)從D到軌道最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值，即可得到μ的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)擺球由C到D運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，則得：mg（L-Lcosθ）=

1

2

m

v

2 D

在D點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：F_m-mg=

m v 2 D

L

聯(lián)立可得：擺線的最大拉力為 F_m=2mg=10N 
（2）小球不脫圓軌道分兩種情況：
①要保證小球能達(dá)到A孔，設(shè)小球到達(dá)A孔的速度恰好為零，
對(duì)小球從D到A的過程，由動(dòng)能定理可得：-μ₁mgs=0-

1

2

m

v

2 D

解得：μ₁=0.5 
若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道．其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：

1

2

m

v

2 A

=mgR
由動(dòng)能定理可得：-μ₂mgs=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 D

解得：μ₂=0.35
②若小球能過圓軌道的最高點(diǎn)則不會(huì)脫離軌道，在圓周的最高點(diǎn)由牛頓第二定律可得：mg=m

v2

R

由動(dòng)能定理可得：-μ3mgs-2mgR=

1

2

mv2-

1

2

mvD2
解得：μ₃=0.125 
綜上，所以摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125 
答：（1）擺線能承受的最大拉力為10N；
（2）粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是不能漏解，要知道擺球能進(jìn)入圓軌道不脫離軌道，有兩種情況，再根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理結(jié)合進(jìn)行求解．