Question

（2007?海淀區(qū)一模）右圖是一個(gè)非常有趣的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的示意圖．將一個(gè)小皮球放在一個(gè)大皮球的上面，使它們一起自由下落，當(dāng)它們落到地面被反彈時(shí)，小球跳的高度會(huì)比下落的高度高出許多倍，往往會(huì)打到天花板上．假設(shè)大球的半徑R=10cm，小球的半徑r=2.5cm．開始下落時(shí)大球球心O₁距地面的高度h=0.90m，大球的質(zhì)量為m₁，小球的質(zhì)量為m₂，且m₁=19m₂．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中兩球的球心始終在同一條豎直線上，所有碰撞的時(shí)間極短，且能量損失均可忽略不計(jì)，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球第一次反彈后，小球的球心會(huì)上升到距地面多高的位置？
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，則小球碰到天花板的瞬時(shí)速度為多大？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出大球碰地前瞬間的速度．由于碰撞的時(shí)間極短，且能量損失不計(jì)，所以大球碰地后以原速率反彈，與小球發(fā)生彈性，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式求出碰后兩球的速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球上升的高度．
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小球碰到天花板的瞬時(shí)速度．

解答：解：（1）設(shè)大球碰地瞬間兩球的速度為v₀，則有

v

2 0

=2g（h-R）
解得，v₀=4m/s
因碰撞的時(shí)間極短，且能量損失不計(jì)，所以大球碰地后以原速率反彈，速度大小為4m/s，方向豎直向上．設(shè)大球與小球碰撞后兩者的速度分別為v₁和v₂，取向上方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得
   （m₁-m₂）v₀=m₁v₁+m₂v₂，
  

1

2

m1

v

2 0

+

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

解得v₂=11.2m/s
則小球能上升的最大高度為H₁=

v 2 2

2g

=6.272m
所以小球的球心會(huì)上升到距地面的高度為H₂=H₁+2R+r=≈6.5m
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，小球上升的高度為h′=H-2R-2r=4m
設(shè)小球碰到天花板的瞬時(shí)速度為v
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v2-

v

2 2

=-2gh′
解得v=6.7m/s
（1）小球第一次反彈后，小球的球心會(huì)上升到距地面6.5m高的位置．
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，則小球碰到天花板的瞬時(shí)速度為6.7m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題要分過程研究，把握每個(gè)過程的規(guī)律，抓住碰撞過程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒是關(guān)鍵．