Question

12．如圖所示，傾角為θ的斜面與足夠大的光滑水平面在D處平滑連接，斜面上有A、B、C三點(diǎn)，AB間距為2L，BC、CD間距為4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4塊完全相同、質(zhì)量均勻分布的長方形薄片，緊挨在一起排在斜面上，從下往上編號(hào)依次為1、2、3、4，第1塊的下邊緣恰好在A處．現(xiàn)將4塊薄片一起由靜止釋放，薄片經(jīng)過D處時(shí)無能量損失且相互之間無碰撞．已知每薄片質(zhì)量為m、長為L，薄片與斜面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為tanθ，重力加速度為g．求：
（1）第1塊薄片下邊緣剛運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v₁；
（2）第1塊薄片剛好完全滑上粗糙面時(shí)的加速度大小a和此時(shí)第3、4塊間的作用力大小F；
（3）4塊薄片全部滑上水平面后，相鄰滑片間的距離d．

Answer 1

分析 （1）AB面光滑，4塊薄片整體下滑時(shí)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求第1塊薄片下邊緣剛運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v₁；
（2）對(duì)于4塊薄片整體，根據(jù)牛頓第二定律求第1塊薄片剛好完全滑上粗糙面時(shí)的加速度大小a．研究第4塊薄片，根據(jù)牛頓第二定律求3對(duì)4的作用力；
（3）研究整體下端由A到C的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列式，求得4塊滑片剛好全部滑上粗糙面時(shí)的速度，對(duì)每塊滑片運(yùn)用動(dòng)能定理求得每塊滑片滑到水平面時(shí)的速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得相鄰滑片到達(dá)水平面的時(shí)間差，從而求得相鄰滑片間的距離d．

解答 解：（1）研究4塊薄片整體，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
   4mg•2Lsinθ=$\frac{1}{2}（4m）{v}_{1}^{2}$
解得  v₁=2$\sqrt{gLsinθ}$
（2）對(duì)于4塊薄片整體，根據(jù)牛頓第二定律有
  4mgsinθ-μmgcosθ=4ma
解得  a=$\frac{3}{4}$gsinθ
研究第4塊薄片，根據(jù)牛頓第二定律有
 mgsinθ-F=ma
解得  F=$\frac{1}{4}$mgsinθ
（3）設(shè)4塊滑片剛好全部滑上粗糙面時(shí)的速度為v₂，研究整體下端由A到C的過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
   4mg•6Lsinθ-$\frac{4μmgcosθ}{2}$•4L=$\frac{1}{2}（4m）{v}_{2}^{2}$
設(shè)每塊滑片滑到水平面時(shí)的速度為v₃，對(duì)每塊滑片運(yùn)用動(dòng)能定理有
   mg•$\frac{9Lsinθ}{2}$-$\frac{μmgcosθ}{2}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
相鄰滑片到達(dá)水平面的時(shí)間差 t=$\frac{L}{{v}_{2}}$                     
由于  d=（v₃-v₂）t
解得 d=$\sqrt{2}$L    
答：
（1）第1塊薄片下邊緣剛運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v₁是2$\sqrt{gLsinθ}$．
（2）第1塊薄片剛好完全滑上粗糙面時(shí)的加速度大小a是$\frac{3}{4}$gsinθ，此時(shí)第3、4塊間的作用力大小F是$\frac{1}{4}$mgsinθ；
（3）4塊薄片全部滑上水平面后，相鄰滑片間的距離d是$\sqrt{2}$L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)，一要靈活選擇研究對(duì)象，采用隔離法和整體法結(jié)合比較簡潔．二要分析清楚運(yùn)動(dòng)過程．涉及力在空間效果時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理研究是常用的方法．