Question

19．如圖所示，寬度為12$\sqrt{3}$L的區(qū)域被平均分為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它們的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向垂直紙面且相反．長(zhǎng)為12$\sqrt{3}$L，寬為3L的矩形abcd緊鄰磁場(chǎng)下方，與磁場(chǎng)邊界對(duì)齊，O為dc邊中點(diǎn)，P為dc邊中垂線(xiàn)上一點(diǎn)，OP=18L．矩形內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向由A指向d．電荷量為q、質(zhì)量為m、重力不計(jì)的帶電粒子從a點(diǎn)以水平初速度（沿a指向b）飛入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)加速后恰能從O點(diǎn)射出，勻速運(yùn)動(dòng)一小段位移后進(jìn)入磁場(chǎng)．
（1）求該粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度；
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與區(qū)域Ⅲ的右邊界相切，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）若改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，粒子過(guò)O點(diǎn)后第三次過(guò)dc中垂線(xiàn)可達(dá)P點(diǎn)，求該粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）從a點(diǎn)到O點(diǎn)，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由水平位移和豎直位移及電場(chǎng)強(qiáng)度E大小，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出末速度的大小和方向．
（2）從O點(diǎn)沿直線(xiàn)射入Ⅲ區(qū)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好與右邊界相切，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系關(guān)系求出半徑，再由洛侖茲力提供向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）由題意畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于每次粒子在磁場(chǎng)區(qū)域均偏轉(zhuǎn)120°，那么由軌跡可以看出通過(guò)三次偏轉(zhuǎn)后到達(dá)P點(diǎn)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好為一個(gè)周期．

解答 解：（1）設(shè)粒子在a點(diǎn)的水平初速度大小為v₀，經(jīng)O點(diǎn)出射時(shí)速度大小為v，與水平方向夾角為．
    粒子在電場(chǎng)中受力：qE=ma    
    由平拋知識(shí)可得：水平方向：$12\sqrt{3}×\frac{1}{2}={v}_{0}t$
                             豎直方向：$3L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
   vcosθ=v₀     $tanθ=\frac{at}{{v}_{0}}$
    聯(lián)立以上幾式可得：v=$2\sqrt{\frac{6qEL}{m}}$
                               θ=30°
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R
    則有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    粒子運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與區(qū)域Ⅲ右邊界相切，如圖所示：
    由幾何關(guān)系可知：$R-Rsinθ=4\sqrt{3}L$
    聯(lián)立以上兩式得：B=$\sqrt{\frac{mE}{8qL}}$
（3）若改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′
    粒子過(guò)O點(diǎn)后第三次過(guò)dc中垂線(xiàn)可達(dá)P點(diǎn)，如圖所示：
    由幾何關(guān)系可知：
    $\sqrt{3}R′+12L×\frac{1}{6}×tanθ×2=18L×\frac{1}{3}$
    粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)三次，每次偏轉(zhuǎn)圓心角均為120°，因此粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好等于一個(gè)周期T．
    由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知：$T=\frac{2πR′}{v}$
    聯(lián)立以上三式可得：T=$\frac{π}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$  
答：（1）該粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度為$2\sqrt{\frac{6qEL}{m}}$．
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與區(qū)域Ⅲ的右邊界相切，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\sqrt{\frac{mE}{8qL}}$．
（3）若改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，粒子過(guò)O點(diǎn)后第三次過(guò)dc中垂線(xiàn)可達(dá)P點(diǎn)，該粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{π}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$

點(diǎn)評(píng) 本題的題目看起來(lái)很長(zhǎng)，信息也豐富，場(chǎng)區(qū)很復(fù)雜，但物理過(guò)程很直觀明確．涉及的物理知識(shí)點(diǎn)主要有類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)等．要強(qiáng)調(diào)的是第三問(wèn)，三次通過(guò)中垂線(xiàn)后通過(guò)P點(diǎn)，畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡要注意對(duì)稱(chēng)性，這樣才能保證結(jié)果的正確性．