Question

如圖所示的滑輪，它可以繞垂直于紙面的光滑固定水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪上繞有輕質(zhì)柔軟細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為3m的重物，另一端系一質(zhì)量為m，電阻為r的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bo的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，開(kāi)始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時(shí)恰好達(dá)到穩(wěn)定速度而勻速下降．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，忽略所有摩擦，求：
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h對(duì)的過(guò)程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時(shí)的時(shí)刻記作t=0，從此時(shí)刻起，磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，若此后金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B怎樣隨時(shí)間t變化（寫(xiě)出B與t的關(guān)系式）．

Answer 1

分析：（1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導(dǎo)出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（2）重物從釋放到下降h的過(guò)程中，重物的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為桿的重力勢(shì)能和動(dòng)能、重物的動(dòng)能及整個(gè)回路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)串聯(lián)電路電流關(guān)系，求出電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）當(dāng)回路中總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)棒將導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)磁通量不變，列式求B與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，受力平衡．
此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=B₀Lv，
則棒所受的安培力 F_安=B₀IL=B₀L

B0Lv

R+r

=

B 2 0 L2v

R+r

對(duì)整體有：3mg=mg+F_安，
聯(lián)立解得 v=

2mg(R+r)

B 2 0 L2

（2）重物從釋放到下降h的過(guò)程中，由能量守恒得
 3mgh=mgh+

1

2

(m+3m)v2+Q_總
電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R=

R

R+r

Q總
由以上式子解得，Q_R=

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 4 0 L4

]
（3）當(dāng)回路中總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)金屬棒將導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．
則有
  3mg-mg=（3m+m）a
B₀Lh=BL（h+vt+

1

2

at2）
解得 B=

4 B 3 0 L2h

4 B 2 0 L2h+8mg(R+r)t+ B 2 0 L2gt2

答：
（1）重物勻速下降的速度v是

2mg(R+r)

B 2 0 L2

；
（2）重物從釋放到下降h對(duì)的過(guò)程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 4 0 L4

]．
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是 B=

4 B 3 0 L2h

4 B 2 0 L2h+8mg(R+r)t+ B 2 0 L2gt2

．

點(diǎn)評(píng)：本題分別從力和能量?jī)蓚�(gè)角度研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是計(jì)算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件．