Question

有一水平放置的圓盤(pán)，上面放有一勁度系數(shù)為k的彈簧，如圖所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體A，物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開(kāi)始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為R，重力加速度為g，求：
（1）盤(pán)的角速度ω₀多大時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)？
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量△x是多少？

Answer 1

分析：（1）物體A隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，若圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時(shí)，由彈力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和胡克定律求解彈簧的伸長(zhǎng)量△x．

解答：解：
（1）圓盤(pán)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A所受靜摩擦力提供向心力，若滑塊不滑動(dòng)，則有μmg≥mRω₀²，
當(dāng)μmg=mRω₀²時(shí)，即當(dāng)ω0=

μg R

時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)．
（2）當(dāng)角速度增大到2ω₀時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)△x，則有
μmg+k△x=mr（2ω₀）²，r=R+△x，
解得△x=

3μmgR

kR-4μmg

．
答：
（1）盤(pán)的角速度ω0=

μg R

時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)．
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量△x=

3μmgR

kR-4μmg

．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)物體相對(duì)于接觸物體剛要滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況．