Question

11．如圖所示，一傾角為θ=45°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板，在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m=0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點），小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小物塊在斜面上運動的總路程．
（2）在小物塊與擋板的前3次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

分析 （1）由于有摩擦存在，物塊下滑的過程中機械能不斷損失，所以最終小物塊停在擋板上，對整個過程，運用動能定理可求得小物塊運動的總路程；
（2）根據(jù)動能定理求解出第一次碰撞后上升的高度和返回后的速度；根據(jù)動量定理得到第二次碰撞過程的沖量；發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可得出前3次碰撞過程中總的沖量

解答 解：（1）設(shè)小物塊在斜面上運動的總路程為s．對全程，由動能定理有：
mgh₀-μmgcosθs=0
代入數(shù)據(jù)解得：s=5$\sqrt{2}$m≈7.07m；
（2）設(shè)小物塊從高為h₀處由靜止開始沿斜面向下運動，到達(dá)斜面底端時速度為v．由功能關(guān)系得：
mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²+μmgcosθ•$\frac{{h}_{0}}{sinθ}$
導(dǎo)入數(shù)據(jù)解得：v=4m/s
以沿斜面向上為動量的正方向．由動量定理，第1次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為：
I=mv-m（-v）
設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h′，則有：
$\frac{1}{2}$mv²=mgh′=μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
同理，有：mgh′=$\frac{1}{2}$mv′²+μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
第2次有：I′=mv′-m（-v′）
式中，v′為小物塊第2次到達(dá)斜面底端時的速度，I′為第2次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量．聯(lián)立可得：
I′=KI  
式中 k=$\sqrt{\frac{tanθ-μ}{tanθ+μ}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 
第n次碰撞后，給擋板的沖量為：I_n=kⁿI₁
由此可知，小物塊前3次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為：
I₁=2m$\sqrt{2g{h}_{0}（1-μcotθ）}$
總沖量為：
I=I₁+I₂+I₃=I₁（1+k+k²）
由   1+k+k²=$\frac{1-{k}^{3}}{1-k}$=$\frac{5+\sqrt{6}}{3}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：I=0.24（5+$\sqrt{6}$）N•s≈1.79N•s  
答：（1）小物塊在斜面上運動的總路程為7.07m；
（2）在小物塊與擋板的前3次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是為1.79N•s．

點評 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運動規(guī)律，然后根據(jù)動能定理、動量定理列式求解出總沖量，最后化解出最簡形式．注意數(shù)學(xué)歸納法的正確應(yīng)用．