Question

14．在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)A 用長H=50m 的懸索（重力可忽略不計）系住一質(zhì)量m=50kg 的被困人員B，直升機(jī)A 和被困人員B 以v₀=10m/s 的速度一起沿水平方向勻速運(yùn)動，如圖甲所示．某時刻開始收懸索將人吊起，在t=5s的時間內(nèi)，A、B之間的豎直距離以L=50-t²（單位：m）的規(guī)律變化，取g=10m/s²
（1）求這段時間內(nèi)懸索對人的拉力大�。�
（2）求在5s 末人的速度大小及該5s 內(nèi)人的位移大�。�
（3）直升機(jī)在t=5s 時停止收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B 盡快運(yùn)送到安全處，飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人員B 在空中做圓周運(yùn)動，如圖乙所示．此時懸索與豎直方向成37°角，不計空氣阻力，求被困人員B 做圓周運(yùn)動的線速度以及懸索對被困人員B 的拉力．（ sin 37°=0.6，cos37°=0.8 ）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B之間的豎直距離的表達(dá)式得出被困人員向上運(yùn)動的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求出拉力的大�。�
（2）在5s內(nèi)，被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動，分別求出水平方向和豎直方向上的速度和位移，根據(jù)平行四邊形定則求出合速度和合位移．
（3）根據(jù)合外力提供圓周運(yùn)動的向心力求出線速度的大小和繩子的拉力大�。�

解答 解：（1）被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上被困人員的位移：
y=H-l=50-（50-t²）=t²，
由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a=2m/s²的勻加速直線運(yùn)動
由牛頓第二定律可得F-mg=ma
代入數(shù)據(jù)，解得懸索的拉力F=m（g+a）=600N．
（2）被困人員5s末在豎直方向上的速度為v_y=at=10m/s
合速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=10$\sqrt{2}$m/s
豎直方向的位移y=$\frac{1}{2}$at²=25m
水平方向的位移x=v₀t=50m
合位移s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=25$\sqrt{5}$m．
（3）t=5s時懸索的長度
l′=50-y=25m，旋轉(zhuǎn)半徑r=l′sin 37°
由mgtan 37°=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得v′=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$m/s
此時被困人員B的受力情況如圖所示，由圖可知
F_Tcos 37°=mg
解得F_T=$\frac{mg}{cos37°}$=625N．
答：（1）這段時間內(nèi)懸索對被困人員B的拉力大小是600N；
（2）在5s末被困人員B的速度大小及位移大小分別是10$\sqrt{2}$m/s和25$\sqrt{5}$m；
（3）被困人員B做圓周運(yùn)動的線速度$\frac{15\sqrt{2}}{2}$m/s以及懸索對被困人員B的拉力為625N．

點(diǎn)評 本題考查應(yīng)用牛頓定律求解力的問題，關(guān)鍵是正確地進(jìn)行受力分析，以及知道做勻速圓周運(yùn)動，靠合力提供向心力