Question

16．如圖（甲）所示，在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有兩根水平放置的平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的間距為 L，左端連接有阻值為 R的電阻．有一質(zhì)量為 m的導(dǎo)體棒ab垂直放置在導(dǎo)軌上，距導(dǎo)軌左端恰好為L(zhǎng)．導(dǎo)軌所在空間存在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻，棒與導(dǎo)軌間的摩擦可忽略．
（1）若在一段時(shí)間t₀內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度從0開(kāi)始隨時(shí)間t均勻增大，t₀時(shí)刻，B=B₀，如圖（乙）所示．在導(dǎo)體棒ab上施加一外力，保持其靜止不動(dòng)，求：
a．這段時(shí)間內(nèi)棒中的感應(yīng)電流的大小和方向；
b．在$\frac{t_0}{2}$時(shí)刻施加在棒上的外力的大小和方向．
（2）若磁場(chǎng)保持B=B₀不變，如圖（丙）所示，讓導(dǎo)體棒ab以初速度v₀ 向右滑動(dòng)，棒滑行的最遠(yuǎn)距離為 s．試推導(dǎo)當(dāng)棒滑行的距離為λs時(shí)（0＜λ＜1），電阻R上消耗的功率P=$\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$．

Answer 1

分析 （1）a、在0～t₀時(shí)間內(nèi)，B均勻增大，回路的磁通量均勻增大，產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求解感應(yīng)電流的大小，由楞次定律判斷感應(yīng)電流的方向．
b、由于棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，外力與安培力平衡，求出安培力，再由平衡條件求解即可．
（2）磁場(chǎng)保持B=B₀不變，導(dǎo)體棒向右做變減速運(yùn)動(dòng)，取極短時(shí)間，根據(jù)動(dòng)量定理列式得到安培力的沖量與動(dòng)量變化量的關(guān)系，由積分法得到導(dǎo)體棒的末速度與初速度的關(guān)系式，再由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律、功率公式結(jié)合答題．

解答 解：（1）a．在0～t₀時(shí)間內(nèi)  $E=\frac{△φ}{△t}=\frac{△B}{△t}•S=\frac{B_0}{t_0}•{L^2}$
ab棒上感應(yīng)電流  $I=\frac{E}{R}=\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}$
由楞次定律知，棒中感應(yīng)電流的方向b→a．
b．在0～t₀時(shí)間導(dǎo)體棒ab靜止，所以F_外=F_A，方向與安培力反向．
棒受到的安培力 F_A=BIL　　
在$\frac{t_0}{2}$時(shí)刻，$B=\frac{B_0}{2}$，所以 F_A=$\frac{B_0}{2}•\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}•L$，安培力方向水平向左．
所以外力大小為  F_外=$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右．
（2）設(shè)經(jīng)時(shí)間t，棒滑行的距離為x，速度變?yōu)関．
由法拉第電磁感應(yīng)定律，此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=B₀Lv
感應(yīng)電流 $I=\frac{E}{R}$
棒受到的安培力F_A=B₀IL，即 ${F_A}=\frac{B_0^2L^2v}{R}$
將時(shí)間t分為n小段，設(shè)第i小段時(shí)間間隔為△t，ab棒在此段時(shí)間間隔的位移為△x，規(guī)定向右的方向?yàn)檎�，由�?dòng)量定理
-F_A△t=m△v$-\frac{B_0^2L^2v}{R}△t=m△v$
又    v△t=△x
所以 $-\frac{B_0^2L^2}{R}△x=m△v$
在整個(gè)過(guò)程中  $\sum{-\frac{B_0^2L^2}{R}}△x=\sum{m△v}$
即  $-\frac{B_0^2L^2}{R}\sum{△x}=\sum{m△v}$$-\frac{B_0^2L^2}{R}x=m（v-{v_0}）$
當(dāng)x=s時(shí)，v=0，有$\frac{B_0^2L^2}{R}s=mv0$
當(dāng)x=λs時(shí)，$\frac{B_0^2L^2}{R}λs=m（v0-v）$
解得  v=v₀（1-λ）　
此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=B₀Lv=B₀Lv₀（1-λ）
此時(shí)電阻R上消耗的功率 $P=\frac{E^2}{R}=\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$
答：
（1）a．這段時(shí)間內(nèi)棒中的感應(yīng)電流的大小為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{0}}$，方向b→a；
b．在$\frac{t_0}{2}$時(shí)刻施加在棒上的外力的大小為$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右；
（2）推導(dǎo)如上．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用動(dòng)量定理列式，得到變減速運(yùn)動(dòng)的末速度與初速度的關(guān)系，如動(dòng)量定理沒(méi)學(xué)過(guò)，可運(yùn)用牛頓第二定律和加速度的定義式a=$\frac{△v}{△t}$結(jié)合解答．