Question

16．如圖（甲）所示，在豎直向下的勻強磁場中，有兩根水平放置的平行導軌，導軌的間距為 L，左端連接有阻值為 R的電阻．有一質量為 m的導體棒ab垂直放置在導軌上，距導軌左端恰好為L．導軌所在空間存在方向豎直向下的勻強磁場，不計導軌和導體棒的電阻，棒與導軌間的摩擦可忽略．
（1）若在一段時間t₀內，磁場的磁感應強度從0開始隨時間t均勻增大，t₀時刻，B=B₀，如圖（乙）所示．在導體棒ab上施加一外力，保持其靜止不動，求：
a．這段時間內棒中的感應電流的大小和方向；
b．在$\frac{t_0}{2}$時刻施加在棒上的外力的大小和方向．
（2）若磁場保持B=B₀不變，如圖（丙）所示，讓導體棒ab以初速度v₀ 向右滑動，棒滑行的最遠距離為 s．試推導當棒滑行的距離為λs時（0＜λ＜1），電阻R上消耗的功率P=$\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$．

Answer 1

分析 （1）a、在0～t₀時間內，B均勻增大，回路的磁通量均勻增大，產生恒定的感應電動勢和感應電流，由法拉第電磁感應定律和歐姆定律結合求解感應電流的大小，由楞次定律判斷感應電流的方向．
b、由于棒處于靜止狀態(tài)，外力與安培力平衡，求出安培力，再由平衡條件求解即可．
（2）磁場保持B=B₀不變，導體棒向右做變減速運動，取極短時間，根據動量定理列式得到安培力的沖量與動量變化量的關系，由積分法得到導體棒的末速度與初速度的關系式，再由法拉第電磁感應定律和歐姆定律、功率公式結合答題．

解答 解：（1）a．在0～t₀時間內  $E=\frac{△φ}{△t}=\frac{△B}{△t}•S=\frac{B_0}{t_0}•{L^2}$
ab棒上感應電流  $I=\frac{E}{R}=\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}$
由楞次定律知，棒中感應電流的方向b→a．
b．在0～t₀時間導體棒ab靜止，所以F_外=F_A，方向與安培力反向．
棒受到的安培力 F_A=BIL　　
在$\frac{t_0}{2}$時刻，$B=\frac{B_0}{2}$，所以 F_A=$\frac{B_0}{2}•\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}•L$，安培力方向水平向左．
所以外力大小為  F_外=$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右．
（2）設經時間t，棒滑行的距離為x，速度變?yōu)関．
由法拉第電磁感應定律，此時的感應電動勢E=B₀Lv
感應電流 $I=\frac{E}{R}$
棒受到的安培力F_A=B₀IL，即 ${F_A}=\frac{B_0^2L^2v}{R}$
將時間t分為n小段，設第i小段時間間隔為△t，ab棒在此段時間間隔的位移為△x，規(guī)定向右的方向為正，由動量定理
-F_A△t=m△v$-\frac{B_0^2L^2v}{R}△t=m△v$
又    v△t=△x
所以 $-\frac{B_0^2L^2}{R}△x=m△v$
在整個過程中  $\sum{-\frac{B_0^2L^2}{R}}△x=\sum{m△v}$
即  $-\frac{B_0^2L^2}{R}\sum{△x}=\sum{m△v}$$-\frac{B_0^2L^2}{R}x=m（v-{v_0}）$
當x=s時，v=0，有$\frac{B_0^2L^2}{R}s=mv0$
當x=λs時，$\frac{B_0^2L^2}{R}λs=m（v0-v）$
解得  v=v₀（1-λ）　
此時產生的感應電動勢E=B₀Lv=B₀Lv₀（1-λ）
此時電阻R上消耗的功率 $P=\frac{E^2}{R}=\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$
答：
（1）a．這段時間內棒中的感應電流的大小為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{0}}$，方向b→a；
b．在$\frac{t_0}{2}$時刻施加在棒上的外力的大小為$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右；
（2）推導如上．

點評 解決本題的關鍵是運用動量定理列式，得到變減速運動的末速度與初速度的關系，如動量定理沒學過，可運用牛頓第二定律和加速度的定義式a=$\frac{△v}{△t}$結合解答．