Question

5．如圖，在豎直平面內(nèi)有由$\frac{1}{4}$$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．$\widehat{AB}$的半徑為R，$\widehat{BC}$的半徑為$\frac{R}{2}$．一小球在A點(diǎn)正上方與A相距$\frac{R}{4}$處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．求：
（1）小球在B、A兩點(diǎn)的速度大小之比；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律分別求出小球經(jīng)過B點(diǎn)和A點(diǎn)的速度大小，再得到它們的比值．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，
從下落到A點(diǎn)的過程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mg$\frac{R}{4}$，得：v_A=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
從下落到B點(diǎn)的過程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg（R+$\frac{R}{4}$），得：v_B=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
則得小球在B、A兩點(diǎn)的速度之比 v_B：v_A=$\sqrt{5}$：1．
（2）從下落到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得：N=0
由牛頓第三定律知，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0．
答：（1）小球在B、A兩點(diǎn)的速度之比為$\sqrt{5}$：1．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程，抓住軌道光滑時(shí)往往小球的機(jī)械能守恒，要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)向心力的來源：指向圓心的合力．