Question

9．如圖所示，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正三角形abO，bO邊位于直角坐標(biāo)系的x軸上，O點(diǎn)正是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形三邊的中點(diǎn)分別為c、d、e、df垂直于aO邊、垂足為d，df與y軸的交點(diǎn)為f，cd與y軸的交點(diǎn)為g，在cg下方的三角形內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，gh平行于df、且垂直于fi、垂足為i，以fi、gh為邊界的足夠大范圍存在平行于fi的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．現(xiàn)從e點(diǎn)垂直于bO邊以速度v₀入射一帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力，粒子的荷質(zhì)比為k，該粒子以最短時(shí)間通過磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場(chǎng)．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)；
（3）粒子從e點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)中速度方向平行y軸的過程，所用時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子以最短時(shí)間通過磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場(chǎng)，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的軌道半徑，通過半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將粒子運(yùn)動(dòng)分解為垂直電場(chǎng)方向和沿電場(chǎng)方向，結(jié)合牛頓第二定律，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及到達(dá)y軸的位置到f點(diǎn)的距離，根據(jù)幾何關(guān)系求出Of的間距，從而得出粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．
（3）分別求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，以及類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出總時(shí)間．

解答 解：（1）該粒子以最短時(shí)間通過兩磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系有：$r=\frac{L}{2}$      ①
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$      ②
由①②得B=$\frac{2{v}_{0}}{Lk}$．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子再次到達(dá)y軸的位置到f點(diǎn)的間距為S．
Ssin30°=v₀t，$Scos30°=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$      ④
由④得t=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$，S=$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}$．⑤
由幾何關(guān)系知$\overline{Of}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$    ⑥
粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的縱坐標(biāo)Y=S+$\overline{Of}$=$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$，⑦
粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$）．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}T$   ⑧
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{πL}{{v}_{0}}$  ⑨
由 ⑧⑨得${t}_{1}=\frac{πL}{6{v}_{0}}$ ⑩
粒子勻速運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間${t}_{2}=\frac{\overline{df}}{{v}_{0}}=\frac{\frac{L}{2}tan30°}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}L}{6{v}_{0}}$⑪
粒子到電場(chǎng)中速度方向平行y軸的過程，所用時(shí)間${t}_{3}=\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$⑫
故總時(shí)間為t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{L}{6{v}_{0}}（π+\sqrt{3}）+\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{2{v}_{0}}{Lk}$；
（2）粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$）；
（3）粒子從e點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)中速度方向平行y軸的過程，所用時(shí)間是$\frac{L}{6{v}_{0}}（π+\sqrt{3}）+\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，一般運(yùn)用半徑公式、周期公式和幾何關(guān)系進(jìn)行求解，對(duì)于粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，一般采用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式或動(dòng)能定理進(jìn)行求解．