Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的小球以初速度v₀=$\sqrt{gd}$下落d后，沿豎直平面內(nèi)的固定軌道ABC運(yùn)動，AB是半徑為d的四分之一粗糙圓弧，BC是半徑為$\fracsnhququ{2}$的粗糙半圓弧，小球運(yùn)動到AB圓弧的最低點(diǎn)B時所受彈力大小N_B=5mg，且小球恰好能運(yùn)動到C點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球在AB圓弧上運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功W₁？
（2）小球運(yùn)動到BC圓弧上C點(diǎn)時的速度大小v_C；
（3）小球在圓弧BC上運(yùn)動過程中，摩擦力對小球做的功W₂．

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解B點(diǎn)的速度，然后對開始到B點(diǎn)過程根據(jù)動能定理列式求解小球在AB圓弧上運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功W₁；
（2）小球恰好能運(yùn)動到C點(diǎn)，故在C點(diǎn)，是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（3）對從B到C過程，根據(jù)動能定理列式求解摩擦力對小球做的功W₂．

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動到B點(diǎn)的速度為v_B，結(jié)合向心力公式，有：
${N}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}fazozmy$
根據(jù)動能定理，有：
2mgd-W₁=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
${W}_{1}=\frac{1}{2}mgd$
（2）在C點(diǎn)，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
其中：r=$\fraciyj11ht{2}$
解得：${v}_{C}=\frac{\sqrt{2gd}}{2}$
（3）由動能定理，有：
-mgd+W₂=-$\frac{3}{4}mgd$
解得：${W}_{2}=-\frac{3}{4}mgd$
答：（1）小球在AB圓弧上運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功W₁為$\frac{1}{2}mgd$；
（2）小球運(yùn)動到BC圓弧上C點(diǎn)時的速度大小v_C為$\frac{\sqrt{2gd}}{2}$；
（3）小球在圓弧BC上運(yùn)動過程中，摩擦力對小球做的功W₂為-$\frac{3}{4}mgd$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動情況，建立圓周運(yùn)動的模型，結(jié)合向心力公式和動能定理、牛頓第二定律列式求解．