Question

16．圖中AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角α=1°（為了能看清楚，圖中畫的是夸大了的）．現(xiàn)將一質(zhì)點在BOA面內(nèi)從A處以速度v=5m/s射出，其方向與AO間的夾角θ=60°，OA=10m．設(shè)質(zhì)點與桌面間的摩擦可忽略不計，質(zhì)點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：
（1）經(jīng)過幾次碰撞質(zhì)點又回到A處與OA相碰？（計算次數(shù)時包括在A處的碰撞）   
（2）共用多少時間？
（3）在這過程中，質(zhì)點離O點的最短距離是多少？

Answer 1

分析 由于此質(zhì)點彈性碰撞時的運(yùn)動軌跡所滿足的規(guī)律和光的反射定律相同，所以可用類比法通過幾何光學(xué)的規(guī)律進(jìn)行求解．即可用光在平面鏡上反射時，物像關(guān)于鏡面對稱的規(guī)律和光路是可逆的規(guī)律求解．

解答 解：（1）第一次，第二次碰撞如圖12-1-甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個內(nèi)角和可知∠MBA=60°+1°=61°，
故第一次碰撞的入射角為90°-61°=29°．
第二次碰撞，∠BCA=61°+1°=62°，故第二次 碰撞的入射角為90°-62°=28°．
…因此，每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、…0°，
當(dāng)入射角為0°時，質(zhì)點碰后沿原路返回．包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共60次碰撞．（2）如圖12-1-乙所示，從O依次作出與OB邊成1°、2°、3°、…的射線，
從對稱規(guī)律可推知，在AB的延長線上，BC′、C′D′、D′E′…分別和BC、CD、DE…相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和．碰撞入射角為0°時，即交角為90°時開始返回．故質(zhì)點運(yùn)動的總路程為一銳角為60°的Rt△AMO的較小直角邊AM的二倍．即：s=2AM=2AOcos60°=10m
所用總時間：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{10}{5}$=2s；
（3）由圖可知，碰撞過程中離O的最近距離為另一直角邊長OM=AOsin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$m；
答：（1）經(jīng)過60次碰撞質(zhì)點又回到A處與OA相碰（計算次數(shù)時包括在A處的碰撞）
（2）共用2s時間？
（3）在這過程中，質(zhì)點離O點的最短距離是5$\sqrt{3}$m

點評 本題考查光的反射規(guī)律的應(yīng)用，要注意能將彈性碰撞過程與光的直線傳播相互聯(lián)系，從而明確小球的運(yùn)動過程；本題難度較大，需要有較高的分析問題能力．