Question

13．“嫦娥三號(hào)衛(wèi)星”簡(jiǎn)稱“嫦娥三號(hào)”，專家稱“三號(hào)星”，是嫦娥繞月探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的四散顆人造繞月探月衛(wèi)星．若“三號(hào)星”在離月球表面距離為h的圓形軌道繞月球飛行，周期為T₁．若已知地球中心和月球中心距離為地球半徑R的n倍，月球半徑r，月球公轉(zhuǎn)周期T₂，引力常量G，求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）地球受月球的吸引力．

Answer 1

分析 （1）對(duì)衛(wèi)星根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{{M}_{月}m}{{（r+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（r+h）}{{T}^{2}}$，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量．
（2）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）“嫦娥三號(hào)衛(wèi)星”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$G\frac{{M}_{月}m}{{（r+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（r+h）}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：${M}_{月}=\frac{4{π}^{2}（r+h）^{3}}{{{GT}_{1}}^{2}}$
（2）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則有
F=${M}_{月}\frac{4{π}^{2}nR}{{{T}_{2}}^{2}}$
則地球受月球的吸引力F′=${M}_{月}\frac{4{π}^{2}nR}{{{T}_{2}}^{2}}$=$\frac{16{π}^{4}nR（r+h）^{3}}{{G{{T}_{1}}^{2}{T}_{2}}^{2}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{（r+h）}^{3}}{{{GT}_{1}}^{2}}$；
（2）地球受月球的吸引力為$\frac{16{π}^{4}nR{（r+h）}^{3}}{{G{{T}_{1}}^{2}{T}_{2}}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬有引力提供向心力公式，要求能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．