Question

1．某宇航員在一個(gè)半徑為R的星球表面做了如下實(shí)驗(yàn)：取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計(jì)上，手握直管掄動砝碼，使它在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，停止掄動細(xì)直管并保持細(xì)管豎直．砝碼繼續(xù)在一水平面繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，此時(shí)測力計(jì)的示數(shù)為F，細(xì)線下端和砝碼之間的細(xì)線長度為L且與豎直方向的夾角為θ．求：
（1）該星球表面重力加速度g的大小；
（2）砝碼在水平面內(nèi)繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的角速度；
（3）若某衛(wèi)星在距該星球表面h高處做勻速圓周運(yùn)動，則該衛(wèi)星的線速度為多大？

Answer 1

分析 （1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，由細(xì)線的拉力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合列式，可求得重力加速度g；
（2）根據(jù)重力與拉力的合外力提供向心力，可以求出角速度．
（3）根據(jù)萬有引力等于向心力求解線速度．

解答 解：（1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，合力的方向沿水平方向，所以：
mg=Fcosθ
所以：g=$\frac{Fcosθ}{m}$
（2）由細(xì)線的拉力和重力的合力提供向心力，則得：
mgtanθ=mω²Lsinθ        
則ω=$\sqrt{\frac{F}{mL}}$ 
（3）在星球表面的物體有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g          
又根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=m′•\frac{{v}^{2}}{R+h}$
聯(lián)立得：v=$R\sqrt{\frac{Fcosθ}{m（R+h）}}$
答：（1）該星球表面重力加速度g的大小是$\frac{Fcosθ}{m}$；
（2）砝碼在水平面內(nèi)繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的角速度是$\sqrt{\frac{F}{mL}}$；
（3）若某衛(wèi)星在距該星球表面h高處做勻速圓周運(yùn)動，則該衛(wèi)星的線速度為$R\sqrt{\frac{Fcosθ}{m（R+h）}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況和衛(wèi)星圓周運(yùn)動的條件，能夠熟練運(yùn)用萬有引力等于重力、萬有引力等于向心力研究衛(wèi)星問題．