Question

12．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的所謂“三星系統(tǒng)”，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行．如圖所示，假設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為M，相鄰的兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，并且引力常量為G．試求：
（1）其中任意兩個(gè)星體間的引力大小；
（2）每個(gè)星體的加速度大��；
（3）每個(gè)星體的周期和線速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律列式求解任意兩個(gè)星體間的引力大��；
（2）先根據(jù)平行四邊形定則求解合力，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度大��；
（3）合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期和線速度大�。�

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律，任意兩個(gè)星體間的引力大小為：F=G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）每個(gè)星體的合力：F_合=2Fcos30°=$\frac{\sqrt{3}G{M}^{2}}{{L}^{2}}$
根據(jù)牛頓第二定律，有：a=$\frac{{F}_{合}}{M}$=$\frac{\sqrt{3}G{M}^{\;}}{{L}^{2}}$
（3）星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提高向心力，故：
F_合=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
解得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$
T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
答：（1）其中任意兩個(gè)星體間的引力大小為G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）每個(gè)星體的加速度大小為$\frac{\sqrt{3}G{M}^{\;}}{{L}^{2}}$；
（3）每個(gè)星體的周期為$\frac{2\sqrt{3}}{3}π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$，線速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{L}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三星問(wèn)題，關(guān)鍵是知道每個(gè)星球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，知道合力提供向心力，能根據(jù)牛頓第二定律列式求解．