Question

6．地球赤道上的某城市N想實施-個“人造月亮”計劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽光反射到地球上，使這座城市在午夜有“日出”時的效果．若此時的N城正是盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，其自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求：
（1）地球同步衛(wèi)星離地心的距離；
（2）懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差；
（3）此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬有引力相等，再根據(jù)萬有引力提供同步衛(wèi)星的向心力求得同步衛(wèi)星的軌道半徑r即離地心的距離；
（2、3）根據(jù)反射定律及光線圖分析求解同步衛(wèi)星的居經(jīng)度與N城的經(jīng)度差，以及平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角．

解答 解：（1）令地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，
在地球表面有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$     ①
同步衛(wèi)星的軌道為r，有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$     ②
由①②兩式可得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2、3）過赤道平面的截面圖如圖所示，

水平入射光線MA經(jīng)反射后的反射光線AN與地球相切，故
∠MAN=90°
衛(wèi)星所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為OA，城市所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為ON
所以$α=arccos\frac{R}{r}$
$θ=45°+arcsin\frac{R}{r}$
答：（1）地球同步衛(wèi)星離地心的距離為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差為$arccos\frac{R}{r}$；
（3）此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角為$45°+arcsin\frac{R}{r}$．

點評 萬有引力應(yīng)用主要從星球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供圓周運動向心力入手，本題關(guān)鍵是作出光路圖是解決問題的關(guān)鍵．