Question

4．如圖所示是月亮女神、嫦娥一號繞月做圓周運(yùn)行時某時刻的圖片，用R₁、R₂、T₁、T₂分別表示月亮女神和嫦娥1號的軌道半徑及周期，用R表示月亮的半徑．
（1）請用萬有引力知識證明：它們遵循$\frac{{{R}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{R}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$=K，其中K是只與月球質(zhì)量有關(guān)而與衛(wèi)星無關(guān)的常量；
（2）在經(jīng)多少時間兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)；
（3）請用嫦娥1號所給的已知量，估測月球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）繞月球做勻速圓周運(yùn)動的天體圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，據(jù)此求得半徑的三次方與周期的二次方的比值，從而得出結(jié)論；
（2）某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動角度相差π時，相距最遠(yuǎn)；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求得中心天體月球的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得月球的密度．

解答 解：（1）環(huán)繞天體繞月球圓周運(yùn)動萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：
$G\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…①
$G\frac{mM}{{R}_{2}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$…②
由①②兩式可得：$\frac{{R}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{R}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}$
式中M為月球質(zhì)量，G為萬有引力常量故$\frac{GM}{4{π}^{2}}=k$，其中k為與月球質(zhì)量有關(guān)的常數(shù)．
（2）月亮女神運(yùn)動比嫦娥1號運(yùn)動快，當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度差等于π時相距最遠(yuǎn)，從相距最近到第一次相距最遠(yuǎn)，所用時間
t=$\frac{π}{{ω}_{1}-{ω}_{2}}=\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$
（3）根據(jù)萬有引力定律提供圓周運(yùn)動向心力有：
$G\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
可得月球質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
根據(jù)密度公式可得：月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{3}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}^{3}}$
答：（1）$\frac{{R}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{R}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}$=k式中$\frac{GM}{4{π}^{2}}=k$，即與月球的質(zhì)量M有關(guān)與衛(wèi)星無關(guān)的量；
（2）經(jīng)過$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$時間兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)；
（3）月球的平均密度為$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}^{3}}$．

點(diǎn)評 環(huán)繞天體圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，據(jù)此根據(jù)圓周運(yùn)動的半徑和周期可以求得中心天體的質(zhì)量，掌握萬有引力公式和球的體積公式是解題的關(guān)鍵．