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4.如圖所示是月亮女神、嫦娥一號繞月做圓周運行時某時刻的圖片,用R1、R2、T1、T2分別表示月亮女神和嫦娥1號的軌道半徑及周期,用R表示月亮的半徑.
(1)請用萬有引力知識證明:它們遵循R13T12=R23T22=K,其中K是只與月球質量有關而與衛(wèi)星無關的常量;
(2)在經多少時間兩衛(wèi)星第一次相距最遠;
(3)請用嫦娥1號所給的已知量,估測月球的平均密度.

分析 (1)繞月球做勻速圓周運動的天體圓周運動的向心力由萬有引力提供,據(jù)此求得半徑的三次方與周期的二次方的比值,從而得出結論;
(2)某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方,當兩顆衛(wèi)星轉動角度相差π時,相距最遠;
(3)根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體月球的質量,再根據(jù)密度公式求得月球的密度.

解答 解:(1)環(huán)繞天體繞月球圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力有:
G\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}…①
G\frac{mM}{{R}_{2}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}…②
由①②兩式可得:\frac{{R}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{R}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}
式中M為月球質量,G為萬有引力常量故\frac{GM}{4{π}^{2}}=k,其中k為與月球質量有關的常數(shù).
(2)月亮女神運動比嫦娥1號運動快,當它們轉過的角度差等于π時相距最遠,從相距最近到第一次相距最遠,所用時間
t=\frac{π}{{ω}_{1}-{ω}_{2}}=\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2({T}_{2}-{T}_{1})}
(3)根據(jù)萬有引力定律提供圓周運動向心力有:
G\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}
可得月球質量M=\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}
根據(jù)密度公式可得:月球的密度ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{3}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}^{3}}
答:(1)\frac{{R}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{R}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}=k式中\frac{GM}{4{π}^{2}}=k,即與月球的質量M有關與衛(wèi)星無關的量;
(2)經過\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2({T}_{2}-{T}_{1})}時間兩衛(wèi)星第一次相距最遠;
(3)月球的平均密度為\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}^{3}}

點評 環(huán)繞天體圓周運動的向心力由萬有引力提供,據(jù)此根據(jù)圓周運動的半徑和周期可以求得中心天體的質量,掌握萬有引力公式和球的體積公式是解題的關鍵.

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