Question

13．如圖所示，摩托車(chē)做騰躍特級(jí)表演，以初速度v₀沖上高為h、頂部水平的高臺(tái)，然后從高臺(tái)水平飛出，若摩托車(chē)始終以額定功率P行駛，經(jīng)時(shí)間t從坡底到達(dá)坡頂，人和車(chē)的總質(zhì)量為m，且各種阻力的影響可忽略不計(jì)，求：
（1）人和車(chē)到達(dá)坡頂時(shí)的速度v
（2）人和車(chē)飛出的水平距離x
（3）當(dāng)h為多少時(shí)，人和車(chē)飛出的水平距離最遠(yuǎn)，并求出最大值X_max．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，抓住功率不變求出人和車(chē)到達(dá)坡頂時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合初速度和時(shí)間求出水平位移．
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)：不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，對(duì)水平方向距離來(lái)確定h取何值時(shí)，s有最大值．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：Pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，則水平距離為：x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$=$\sqrt{2h（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h）}$．
利用不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以由上式可得：
當(dāng)$2h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h$時(shí)，
即$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$時(shí)，x取最大值，x_max=2h．
答：（1）人和車(chē)到達(dá)坡頂時(shí)的速度v為$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）人和車(chē)飛出的水平距離x為$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）當(dāng)$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$時(shí)，人和車(chē)飛出的水平距離最遠(yuǎn)，最大值X_max為2h．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，難度不大，關(guān)鍵是利用好數(shù)學(xué)知識(shí)求的極值．