Question

19．已知某星體半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T₀，其某一軌道半徑為r的衛(wèi)星公轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，試?yán)�用這些信息推導(dǎo)出該星體的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，可以求出星體的質(zhì)量，再由地球表面的物體受到的重力等于萬有引力可求出近地軌道處的重力加速度，從而即可求得第一宇宙速度．

解答 解：衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$=m′g  
解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
而該星體的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{R{T^2}}}}$
答：該星體的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{R{T^2}}}}$．

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，地球近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力．