Question

13．如圖1所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導(dǎo)軌電阻不計．一根質(zhì)量為m、長為L、電阻為及的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與金屬棒間的動摩擦因數(shù)為μ，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計．導(dǎo)軌左端連有阻值為2R的電阻，在電阻兩端接有電壓傳感器并與計算機(jī)相連．軌道平面上有n段豎直向下的寬度為a間距為b的勻強(qiáng)磁場（a＞b），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．金屬棒初始位于00’處，與第一段磁場相距2a．

（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀）的速度一直向右穿過各磁場，需對金屬棒施加一個水平向右的拉力．求金屬棒進(jìn)入磁場前拉力F₁的大小和進(jìn)入磁場后拉力F₂的大小，以及金屬棒從開始運(yùn)動到離開第n段磁場過程中，拉力所做的功．
（2）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對其施以水平向右的恒定拉力F使棒穿過各段磁場，發(fā)現(xiàn)計算機(jī)顯示出的電壓圖象隨時間以T作周期性變化．請在圖2的坐標(biāo)系中定性地畫出計算機(jī)顯示的u-t圖象（從金屬棒進(jìn)入第一段磁場開始計時）．
（3）在（2）的情況下，求金屬棒從處開始運(yùn)動到離開第n段磁場的過程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量，以及金屬棒從第n段磁場穿出時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）金屬棒保持v₀一直向右勻速運(yùn)動，進(jìn)入磁場前，拉力F₁與滑動摩擦力平衡，由平衡條件可解；金屬棒在磁場中運(yùn)動時，拉力與滑動摩擦力、安培力平衡，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，可解．分兩段求功：一段在非磁場區(qū)域，運(yùn)動的位移為[2a+（n-1）b]，可求出功；另一段在在磁場區(qū)域，每一段拉力做功相同，共有n段，由功的公式可求解．
（3）要使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區(qū)域做加速運(yùn)動，在磁場區(qū)域做減速運(yùn)動，則穿過各段磁場時，感應(yīng)電動勢減小，路端電壓減小，根據(jù)速度的變化情況，可作出電壓圖象．
（4）進(jìn)入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據(jù)動能定理，求出金屬棒進(jìn)入磁場時的速度．進(jìn)入在磁場時，拉力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)動能定理可求出磁場速度，根據(jù)能量守恒定律求出熱量

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速運(yùn)動時，所受合力為0，則：
進(jìn)入磁場前有：F₁=μmg                         
進(jìn)入磁場后有：F₂=μmg+BIL         
電流：I=$\frac{BL{v}_{0}}{3R}$                     
所以F₂=μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$            
金屬棒在磁場外的運(yùn)動過程中拉力做功：W₁=μmg[2a+（n-1）b]
穿過n段磁場過程中拉力做功：W₂=F₂na                 
所以拉力做功為：W=W₁+W₂=μmg[（n+2）a+（n-1）b]+$\frac{n{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$    
（2）由題中要求，要使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區(qū)域做加速運(yùn)動，在磁場區(qū)域做減速運(yùn)動，則穿過各段磁場時，感應(yīng)電動勢減小，路端電壓減小，根據(jù)速度的變化情況，可作出U-t圖象如右圖所示．
（3）由第（2）中結(jié)果可知，金屬棒進(jìn)入各段磁場時速度都應(yīng)相同，等于從OO′運(yùn)動2a距離第一次進(jìn)入磁場時的速度，設(shè)為v₁，由動能定理得
（F-μmg ）2a=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$                
要保證每次進(jìn)入磁場時速度均為v₁，棒在磁場中須做減速運(yùn)動，離開磁場后再加速．每一段磁場中克服安培力做功均相同，都為W'，棒離開磁場時速度也都相同，設(shè)為v₂．由動能定理得
（F-μmg ）a-W'=$\frac{1}{2}$v${\;}_{2}^{2}$$-\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$        
在兩個磁場間運(yùn)動時，有
（F-μmg ）b=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$v${\;}_{2}^{2}$
由此可得：W'=（F-μmg ）（a+b）       
而電路中產(chǎn)生的總熱量為：Q=n W'
所以由以上各式解得左端電阻R上產(chǎn)生的熱量為：Q_R=$\frac{2}{3}$Q=$\frac{2}{3}$nF-μmg ）（a+b）    
金屬棒從第n段磁場穿出時的速度大小為：v₂=$\sqrt{\frac{2}{m}（F-μmg）（2a-b）}$
答：（1）屬棒進(jìn)入磁場前拉力F₁的大小為μmg，進(jìn)入磁場后拉力F₂的大小為μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$，金屬棒從開始運(yùn)動到離開第n段磁場過程中，拉力所做的功為μmg[（n+2）a+（n-1）b]+$\frac{n{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$．
（2）如圖
（3）金屬棒從處開始運(yùn)動到離開第n段磁場的過程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為$\frac{2}{3}$nF-μmg ）（a+b），金屬棒從第n段磁場穿出時的速度大小為$\sqrt{\frac{2}{m}（F-μmg）（2a-b）}$．

點(diǎn)評 本題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來求解，解題時要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時電路中發(fā)熱量均相同的條件，屬于難題．